6.2. Числовые характеристики системы случайных величин

Закон распределения полностью характеризует систему случайных величин, но использовать его на практике не всегда удобно в силу сложности. Зачастую бывает достаточно знать числовые характеристики составляющих систему случайных величин, к которым относятся: математические ожидания M[X], M[Y], дисперсии D[X], D[Y] и среднеквадратические отклонения . Они вычисляются по следующим формулам.

Для дискретных систем случайных величин

;

;

Для непрерывных систем случайных величин

;;

Дисперсии составляющих можно вычислять и по укороченным формулам:

Важную роль в теории двумерных случайных величин играет корреляционный момент (ковариация) , характеризующий линейную связь между составляющими системы:

. (6.7)

Корреляционный момент вычисляется по следующим формулам.

Для дискретных систем случайных величин

.

Для непрерывных систем случайных величин

=

Наряду с корреляционным моментом используется безразмерная характеристика корреляционной связи - коэффициент корреляции

(6.8)

Для любых систем случайных величин Случайные величины Х и Y называются некоррелированными, если . Независимые величины всегда некоррелированы.

Условным законом распределения случайной величины, входящей в систему, называется закон ее распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение. Для систем непрерывных случайных величин условные законы выражаются условными плотностями распределения составляющих:

, при этом , (6.9)

, при этом .

6.3 Законы равномерного и нормального распределения систем случайных величин

Равномерный закон. Если все значения случайных величин входящих в систему расположены внутри области D, и плотность вероятности системы имеет следующий вид:

и , (6.10)

то (Х,У) подчинена равномерному закону распределения.

Нормальный закон. Если плотность распределения системы (Х,У) имеет вид

, (6.11)

где - математические ожидания;- среднеквадратичные отклонения, а- коэффициент корреляции, то система подчиненанормальному закону распределения.

Для некоррелированных случайных величин нормальная плотность распределения имеет вид:

. (6.12)

Пример 6.2. Планируется деятельность 3-х предприятий на очередной год. Система (X,Y), где - номер предприятия,-размеры вложений (в тыс. усл. ден. ед.),,, задана таблицей. Построить законы распределения составляющих системы, найти все числовые характеристики системы:

\	3	4
1	0,1	0,2
2	0,1	0,1
3	0,3	0,2

.4 Законы распределения составляющих системы строим в виде таблиц 2 и 3, суммируя вероятности соответственно по строкам (для составляющей Х) или по столбцам (для составляющей ).

	1	2	3
	0,1+0,2=0,3	0,1+0,1=0,2	0,3+0,2=0,5

Закон распределения составляющей Х означает, что независимо от объема вложений первое предприятие будет иметь вложения с вероятностью 0,3, второе - с вероятностью 0,2 и третье – с вероятностью 0,5. Составляющей Y соответствует закон распределения

	3	4
	0,1+0,1+0,3=0,5	0,2+0,1+0,2=0,5

и это значит, что независимо от номера предприятия объем вложений может быть равен 3 тыс. усл. ден. ед. с вероятностью 0,5 или 4 тыс. усл.ден.ед. с вероятностью 0,5.

Для определения числовых характеристик составляющих воспользуемся найденными законами распределения Х и У и формулами для определения числовых характеристик дискретных систем:

; ;.

- средний объем вложений;

;

- отклонение от среднего объема вложений.

Связь между номером предприятия и объемом вложений:

;

. 3

Пример 6.3. На производстве за определенный период использовалось два вида сырья. Случайные величины X и Y – соответственно объемы сырья, выраженные в условных единицах. Плотность распределения вероятностей системы имеет вид:

.

Определить: 1) интегральную функцию распределения F(х,у) и числовые характеристик M[X], M[Y], D[X], D[Y], К_ху.; 2) вероятность попадания случайной точки (Х, У) в прямоугольник

4 F(х,у) находим в соответствии с формулами (6.2)

1) x<0 или y<0 ;

2)

==;

3)

=

=0,5;

4)

= =0,5;

5)

+.

Таким образом, .

Числовые характеристики M[X], D[X] вычисляются по формулам определения числовых характеристик непрерывных систем:

Из симметрии f(x,y) относительно x и y следует, что M[X]=M[Y], D[X]=D[Y].

Корреляционный момент:

Вероятность попадания (Х,У) в прямоугольник в соответствии с формулой (6.4)

. 3

Задачи

1. Система (Х, У) задана законом распределения:

X \ Y	10	20	30
10	0,1	0,05	0,02
20	0,1	0,3	0,1
30	0,2	0,1	0,03

Найти: M[X], M[Y], M[X/Y=10],

Ответ: .

2. Фирма предлагает 3 варианта проекта двум строительным организациям. Таблицей задан закон распределения системы (Х, У), где X_i-номер проекта, Y_j-номер организации, p_ij- вероятности принятия j–той организацией i-того проекта:

X \ Y	1	2
1	0,1	0,2
2	0,3	0,2
3	0,1	0,1

Определить числовые характеристики системы

Ответ:

3. Из коробки, в которой 4 красных, 2 синих и 3 зеленых карандаша, наудачу извлекли 3 карандаша. Пусть Х- число красных, а У- число синих карандашей среди извлеченных. Найти: а) закон распределения системы (Х,У); б) законы распределения составляющих Х и У; в) вероятность события (Х<3,У=2).

Ответ: а, б)

X\Y	0	1	2
0	1/84	6/84	3/84	10/84
1	12/84	24/84	4/84	40/84
2	18/84	12/84	0	30/84
3	4/84	0	0	4/84
	35/84	42/84	7/84	1

в)

4. Два стрелка независимо друг от друга сделали по выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятность попадания для первого стрелка 0,8; для второго- 0,6. Пусть Х- число попаданий первого стрелка, а У- число попаданий второго. Найти: а) законы распределения составляющих Х и У; б) закон распределения системы (Х,У). в) зависимы или нет случайные величины Х и У.

Х\У	0	1
0	0,08	0,32	0,4
1	0,12	0,48	0,6
	0,2	0,8	1

Ответ: а, б):

в) независимы.

5. Система задана законом распределения:

X \ Y	-1	-2	-3
1	0,2	0,1	0,1
2	0,4	0,1	0,1

найти: M[X], M[Y], D[X], D[Y], K_xy.

Ответ:

6. Дважды брошена игральная кость. Пусть Х – количество выпавших очков при первом бросании, а У – сумма выпавших очков в обоих бросках. Найти M[X], M[Y].

Ответ:

7. Система случайных величин (X,Y) распределена равномерно внутри прямоугольника, ограниченного прямыми: x=1; x=3; y=0; y=2. Найти D[X], D[Y].

Ответ:

8. Система (X;Y) задана плотностью распределения вероятности:

, где . НайтиМ[X], М[Y].

Ответ:

9. Система (X;Y) задана плотностью распределения вероятностей

где D: 0 £ х £ 2; 0 £ у £ 2. Найти М[X], М[Y].

Ответ:

10. Система (X;Y) распределена равномерно в области D: {у = х + 3; у = х; х = 0; х = 4}. . Найти М[X], М[Y].

Ответ:

11. Система (X;Y) распределена равномерно в области D: {у = х; у + 3х= 4; у = 0}. Найти М[X], М[Y].

Ответ:

12. Система (Х;У) распределена равномерно в области D:{ у = х/2; х = 4; у = 4; х = 0}. Найти М[X], М[Y].

Ответ:

13. Коэффициенты b и с квадратного уравнения наудачу и независимо друг от друга выбираются на отрезке [0; 2]. Найти вероятность того, что корни этого уравнения окажутся действительными.

Ответ:

14. X \ Y	-10	0	10
    -5	0,05	0,30	0,15
    5	0,20	0,05	0,25

    Система дискретных случайных величин X и Y задана законом распределения:

Найти корреляционный момент K_xy.

Ответ: .

15. Система случайных величин (X,Y) распределена равномерно внутри треугольной области D, ограниченной прямыми: x=0, y=0 и x+y-1=0. Найти двумерную плотность распределения вероятностей f(x,y) системы.

Ответ:

16. Система случайных величин (Х,Y) задана двумерной плотностью вероятностей , где областьограничена прямыми,,,. Найти корреляционный момент.

Ответ:

17. Система дискретных случайных величин X и Y задана законом распределения:

X \ Y	-1	-2
1	0,1	0,2
2	0,3	0,2
3	0,1	0,1

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины Y.

Ответ:

18. Система дискретных случайных величин X и Y задана законом распределения:

X \ Y	10	20	30
10	0,1	0,3	0,1
20	0,2	0,1	0,2

Найти а) условный закон распределения случайной величины Y и б) условное математическое ожидание m_y/x при условии, что X =20.

Ответ: а)	У/Х=2	10	20	30	б)
		1/5	3/5	1/5

19. Система дискретных случайных величин X и Y задана рядом распределения:

X \ Y	10	20	30
10	0,1	0,05	0,2
20	0,1	0,03	0,1
30	0,2	0,02	0,2

Найти .

Ответ:

20. Система дискретных случайных величин X и Y задана законом распределения:

X \ Y	-3	4
‑3	0,1	0,2
2	0,1	0,1
3	0,3	0,2

Найти корреляционный момент K_xy.

Ответ -3,1

21. Система случайных величин X и Y распределена равномерно в прямоугольной области, ограниченной прямыми линиями: ,,,. Найти одномерную плотность распределенияи математическое ожидание величиныХ.

Ответ:

22. Система дискретных случайных величин X и Y задана законом распределения:

X \ Y	1	2	3
‑3	0,2	0,1	0,2
‑4	0,3	0,1	0,1

Найти: а) условный закон распределения случайной величины Y и б) условное математическое ожидание m_y/x при условии, что X= ‑3.

Ответ: а)		1	2	3
		0,4	0,2	0,4

б)

23. Система дискретных случайных величин X и Y задана законом распределения:

X \ Y	20	30	40
‑1	0,3	0,1	0,1
‑2	0,1	0,3	0,1

Найти корреляционный момент K_xy.

Ответ:

6.23. Рассматривается двумерная случайная величина (Х,У), где Х – поставка сырья, У – поступление требований на него. Известно, что поступление сырья и требований на него могут произойти в любой день месяца (30 дней) с равной вероятностью. Найти: а) выражения для совместной плотности (Х,У); б) плотности вероятности составляющих системы; в) зависимы или независимы Х и У?

Ответ:

6.24. Найти плотность вероятности случайной величины , еслиХ распределена по закону Коши с плотностью вероятностей .

Ответ: