5.3. Распределение Пуассона

СВ Х распределена по закону Пуассона, если она принимает целые неотрицательные значения: 0, 1, 2, …, k, …, вероятности которых можно вычислить по формулам:

, (5.7)

где k – число появлений события А в n независимых испытаниях (), ()‑ параметр распределения, который равен среднему числу появления события А в n испытаниях. Если вероятность появления события А в каждом испытании одинакова и равна р, то .

Распределение Пуассона является предельным для биномиального распределения, когда число испытаний n достаточно велико, а вероятность р появления события в каждом испытании мала (порядка 1/n).

Ряд распределения СВ Х , распределенной по закону Пуассона, имеет вид:

х	0	1	2	…	n	…
рk				…		…

Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны:

, D. (5.8)

Типичными примерами случайных величин, подчиняющихся распределению Пуассона, являются: число вызовов на телефонной станции за некоторое время t; число отказов аппаратуры за время t, если известно, что отказы независимы друг от друга и в среднем на единицу времени приходится  отказов, и т.д.

Пример 5.3. На телефонную станцию в течение часа поступают в среднем 30 вызовов. Найти вероятность того, что в течение минуты поступает не более двух вызовов.

Математическое ожидание числа вызовов за минуту равно . Вероятность того, что в течение данной минуты будет получено не более двух вызовов, равна сумме вероятностей того, что в течение данной минуты будет либо 0, либо 1, либо 2 вызова. Поэтому искомая вероятность:

P(k2) = p(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= =++=(1+1/2+)0,98. 

5.4. Равномерное распределение

СВ Х подчинена равномерному закону распределения, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:

. (5.9)

График плотности равномерного распределения f(x) изображен на рис.5.1.

Интегральная функция распределения F(x) равна: , (5.10)

ее график изображен на рис. 5.2.

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение соответственно равны:

; D;. (5.11)

Вероятность попадания Х в заданный интервал значений определяется:.

Пример 5.4 Цена деления измерительного прибора равна 0,1. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02.

Ошибку округления можно рассматривать как случайную величину Х, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними целыми делениями. В рассматриваемой задаче длина интервала, в котором заключены возможные значения Х, равна 0,1, отсюда:

.

Очевидно, ошибка превысит 0,02, если 0,02<X<0,08. Вероятность

. 

5.5. Показательное распределение

Непрерывная СВ Х распределена по показательному (экспоненциальному) закону, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:

, (5.12)

где  - параметр распределения.

Кривая плотности распределения f(x) изображена на рис.5.3. Интегральная функция распределения равна

, (5.13)

ее график показан на рис 5.4.

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное соответственно равны:

M[X]=1/; D[X]=1/²; _х=1/; (5.13)

а вероятность попадания Х в заданный интервал значений определяется следующим образом:.

Пример 5.5. СВ Т—время безотказной работы телевизора - имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время безотказной работы телевизора будет не меньше 600 часов, если среднее время работы его 400 часов.

 По условию задачи математическое ожидание СВ Т равно 400 часов. Искомая вероятность

P(T  600 )= 1- P(T<600 )= 1- F(600)=1-(1-e^-600/400 )=e^-1,5  0,2231. 