Тема 2. Примеры

Примеры выполнения обязательного задания по теме 2

 

Задание 1. Даны три вектора: =(-1,2,5), =(3,1,-2), =(4,1,7).

 ПРИМЕР

1. Найдем орты заданных векторов.

Общие формулы: ; .

; .

; .

; .

2. Проверим попарно векторы на перпендикулярность, вычислив соответствующие скалярные произведения.

Общая формула: .

(-1)3+21+5(-2)= -11 0;  векторы не перпендикулярны, т.к. их скалярное произведение не равно нулю.

(-1)4+21+57= 33 0;  векторы не перпендикулярны.

34+11+(-2)7= -1 0;  векторы не перпендикулярны.

3. Проверим попарно векторы на коллинеарность, составив отношения их координат.

Общая формула: .

→  векторы не коллинеарны, т.к. их координаты не пропорциональны.

→  векторы не коллинеарны.

→  векторы не коллинеарны.

4. Проверим векторы на компланарность, вычислив их смешанное произведение.

Общая формула:

.

Определитель вычислен по правилу треугольников (тема 1). Векторы не компланарны, т.к. их смешанное произведение не равно нулю.

5. Найдем площадь параллелограмма, простроенного на векторах и .

= (-1;2;5)+(3;1;-2)=(2;3;3); = (4,1,7) - 2(3,1,-2)=(-2;-1;11).

Общая формула: , то есть задача сводится к определению модуля вектора векторного произведения.

Векторное произведение:

=

Здесь векторный определитель раскладывается по первой строке. Координаты вектора векторного произведения (36; -28; 4). Модуль этого вектора численно равен площади параллелограмма на векторах :

, кв.ед.

6. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , .

= 2(-1;2;5) -(4,1,7)= (-6;3;3).

Общая формула: , т.е. объем находится как модуль смешанного произведения.

куб.ед.

Определитель вычислен по правилу треугольников.

 

Задание 2. Найти какой-нибудь базис заданной системы векторов и разложить свободные векторы по этому базису. Выполнить однократное замещение базиса и разложить векторы по новому базису. Сделать проверку.

 ПРИМЕР

Даны векторы в транспонированном виде .

Для выделения базисных векторов составим таблицу из их координат. Обратите внимание, что векторы считаются столбцами, а в задании записаны в транспонированном виде! Преобразуем матрицу в этой таблице по методу полного исключения. Разделение векторов на базисные и свободные аналогично разделению неизвестных в неопределенной системе линейных уравнений.

а1	а2	а3	а4	а5
3 1 7	9 11 5	1 1 1	7 5 11	2 3 0		выбирается в качестве базисного (вводится в базис).
3 -2 4	9 2 -4	1 0 0	7 -2 4	2 1 -2		Получены две пропорциональные строки.
3 -2 0	9 2 0	1 0 0	7 -2 0	2 1 0	:2	Нулевая строка отбрасывается, вторая сокращается на 2.
3 1	9 -1	1 0	7 1	2 -0,5		вводится в базис.
0 1	12 -1	1 0	4 1	3,5 -0,5		Один из возможных базисов составляют векторы и . Перейдем к другому базису,
-4 1	16 -1	1 0	0 1	5,5 -0,5		заменив , например, вектор вектором (однократное замещение базиса).

Запишем разложения свободных векторов для двух полученных базисов (соответственно из двух последних таблиц), причем базисные векторы расположим по порядку. Порядок определяется положением базисной единицы.

Базис: и .	Базис: и .
Свободные векторы: ; ; .	Свободные векторы: ; ; .
Разложение свободных векторов по соответствующему базису:
; ; ;	; ; ;

Координаты свободных векторов в соответствующем базисе получены в таблицах как столбцы преобразованной матрицы.

Проверка. Проверим, например, разложение по базису , , опираясь на исходные данные.

; ;

- соотношения между векторами выполняются в любом базисе.

 

Задание 3. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы , построить базис из собственных векторов и найти матрицу в этом базисе.

 ПРИМЕР

.

Определим собственные числа матрицы А. Для этого составим характеристическое уравнение:

Полученный определитель раскрывается по третьему столбцу.

.

Откуда 1+=0, → ₁= -1;

(5-)(3-)-3=0, 15-8+²-3=0, ²-8+12=0.

; ₂= 6 , ₃=2 .

Таким образом, собственные числа заданного оператора равны соответственно ₁=-1, ₂=6, ₃=2. Все собственные значения различны, поэтому соответствующие собственные векторы линейно независимы и образуют базис.

Зная собственные векторы, можно построить матрицу перехода из исходного базиса в базис из собственных векторов:

и найти .

Матрица А^* в базисе из собственных векторов будет иметь вид:

Найдем собственные векторы, соответствующие найденным собственным числам.

Пусть ₁ = -1, тогда система уравнений примет вид

.

Полученную однородную систему будем решать методом полного исключения.

x1	x2	x3	b
6 3 1	1 4 2	0 0 0	0 0 0
6 -21 -11	1 0 0	0 0 0	0 0 0	:(-21) :(-11)	Из двух пропорциональных строк оставляем одну.
6 1	1 0	0 0	0 0
0 1	1 0	0 0	0 0		Неизвестные и - базисные, - свободное.

Таким образом, решение системы можно записать как Для получения какого-либо собственного вектора, положим х₃=1, тогда собственный вектор определится следующим образом

Аналогично определим собственные векторы, соответствующие собственным числам ₂ и ₃

x1	x2	x3	b
-1 3 1	1 -3 2	0 0 -7	0 0 0		Из двух пропорциональных строк оставляем одну.
-1 0	1 3	0 -7	0 0	(-1) :(-7)
1 0	-1 -3/7	0 1	0 0		Неизвестные и - базисные, - свободное.

положим х₂=7, тогда второй собственный вектор будет иметь вид .

x1	x2	x3	b
3 3 1	1 1 2	0 0 -3	0 0 0		Из двух одинаковых строк оставляем одну.
3 5	1 0	0 -3	0 0	:(-3)
3 -5/3	1 0	0 1	0 0		Неизвестные и - базисные, - свободное.

полагая х₃= -3, получим

В результате базис из собственных векторов можно представить совокупностью векторов

Построим матрицу перехода от старого базиса к базису из собственных векторов Для проверки правильности построенного базиса, определим А^* непосредственно по формуле А^*=С^-1АС.

Этот результат подтверждает правильность нахождения собственных чисел, собственных векторов и матрицу преобразования (перехода).

 

Задание 4. Для заданной квадратичной формы составить матрицу и проверить на знакоопределенность по критерию Сильвестра-Якоби.

 ПРИМЕРЫ

 .

Матрица квадратичной формы , её главные диагональные миноры: все положительны. По критерию Сильвестра-Якоби данная квадратичная форма положительно определена.



• 

Очевидно, . В силу симметрии матрицы и ; ; .

Матрица квадратичной формы , её главные диагональные миноры: по правилу треугольников

.

Следовательно, миноры допускают чередование знаков и данная квадратичная форма не является знакоопределенной.



69