kornil / ФУБ семестр 1 / p36_42

Тема 1. Примеры

Решение экономических задач, сводящихся к СЛАУ, удобно начинать с записи условия задачи в виде таблицы. Так как в данной задаче оно выполнено, переходим к составлению математической модели. Рассмотрим решение по этапам.

1). Обозначим через , , - количество листов, раскраиваемых соответственно 1-м, 2-м и 3-м способами. Очевидно, что по условию Тогда - количество заготовок A, полученных по 1-му способу раскроя, - по 2-му, - по 3-му. Всего заготовок А должно быть 200 штук, т.е.

Аналогично для заготовок В и С: ; .

Система линейных алгебраических уравнений:

представляет собой математическую модель данной задачи.

2). Запишем полученную математическую модель в матричном виде.

- матрица норм раскроя; - вектор запасов сырья,

- вектор неизвестных, .- расширенная матрица системы. Математическая модель в матричном виде: .

Решим полученную СЛАУ методом полного исключения.

x1	x2	x3	b
3 1 4	2 6 1	1 2 5	200 260 290
3 -5 -11	2 2 -9	1 0 0	200 -140 -710
8 -5/2 67/2	0 1 0	1 0 0	340 -70 1340	2/67
8 -5/2 1	0 1 0	1 0 0	340 -70 40
0 0 1	0 1 0	1 0 0	20 30 40

Система имеет единственное решение:

3).Дадим анализ полученного решения. Так как получено единственное решение системы, то удовлетворить потребности в заготовках А, В, С можно единственным способом, раскраивая по 1-му способу 40 листов, по 2-му - 30 листов, по 3-му - 20 листов.

4). Проверка полученного решения:

340+230+20=200; 40+630+220=260; 440+30+520=290. 

 При пошиве изделий 4-х видов используются три ткани: ситец, сатин, поплин. На единицу изделия 1-го вида требуется 1м ситца и 4м поплина; 2-го вида - 1м сатина и 2м поплина; 3-го вида - 2м ситца и 3м сатина; 4-го вида - 1м ситца, 2м сатина, 4м поплина. Сменный запас тканей на фабрике составляет 180м ситца, 210м сатина, 800м поплина. Какой сменный план выпуска изделий можно осуществить, если использовать весь запас тканей полностью?

1. Запишем условие задачи в виде таблицы

Вид ткани	Норма расхода ткани на единицу изделия вида 1-го 2-го 3-го 4-го	Запас тканей
ситец	1 - 2 1	180
сатин	- 1 3 2	210
поплин	4 2 - 4	800

Составим математическую модель. Обозначим - количество (штук) изделий соответствующего вида, выпускаемых за смену. Неизвестные должны быть целыми. Тогда - сменный план выпуска изделий. Очевидно, что по условиям задачи Условия полного использования запаса тканей: составят математическую модель задачи.

2). Решим систему линейных алгебраических уравнений методом полного исключения

х1	х2	х3	х4	b
1 0 4	0 1 2	2 3 0	1 2 4	180 210 800
1 0 0	0 1 2	2 3 -8	1 2 0	180 210 80
1 0 0	0 1 0	2 3 -14	1 2 -4	180 210 -340
1 0 0	0 1 0	2 3 7/2	1 2 1	180 210 85
1 0 0	0 1 0	-3/2 -4 7/2	0 0 1	90 40 85

Приходим к системе . Выразим базисные неизвестные х₁, х₂, х₄ через свободное х₃:

По условию все неизвестные должны быть неотрицательными и целыми. Очевидно, что и х₂ будут неотрицательны при любых неотрицательных х₃ , а вот х₄:

Таким образом, выбирая свободное неизвестное в промежутке , будем получать неотрицательные частные решения данной системы. При этом следует помнить, что кроме неотрицательного, требуется целочисленное решение. Для этого х₃ надо выбирать четным.

3). Проанализируем полученный результат. Компоненты вектора - это план выпуска изделий, причем выпуск изделий по видам будет изменяться в зависимости от принятого количества изделий 3-го вида. Пусть изделий 3-го вида выпускают 24 штуки, т.е. (входит в интервал). Тогда для полного использования всех запасов ткани надо выпускать - изделий 1-го вида; - изделий 2-го вида; - изделий 4-го вида.

Одно из частных решений:.

4). Сделаем проверку по частному решению:

 

 Завод выпускает трансформаторы видов А и В. На один трансформатор вида А используется 5 кг стального листа и 3 кг проволоки; вида В - 3 кг стального листа и 2 кг проволоки. В месяц завод может использовать 480 кг стального листа и 300 кг проволоки. Каким должен быть месячный план выпуска трансформаторов, если требуется полностью использовать запасы сырья и общее количество трансформаторов должно быть равно 100 единицам?

1). Запишем условия задачи в виде таблицы.

Вид ресурса	Норма расхода ресурсов на трансформатор вида: А В	Запасы ресурсов
стальной лист	5 3	480
проволока	3 2	300

Обозначим x₁0 - количество трансформаторов вида А, x₂0- количество трансформаторов вида В, выпускаемых заводом в месяц. Очевидно, что x_1, x₂ должны быть целыми числами. Тогда вектор представляет собой месячный план выпуска трансформаторов и подлежит определению. Условия полного использования ресурсов: . К ним надо присоединить условие общего количества выпускаемых трансформаторов : .

Система линейных алгебраических уравнений является математической моделью данной задачи.

2). Математическая модель в матричном виде:

; .

3). Решим методом полного исключения полученную СЛАУ.

х1	х2	b
5 3 1	3 2 1	480 300 100
0 0 1	-2 -1 1	100 0 100
0 0 1	0 1 0	100 0 100

Система несовместна, что очевидно из первой строки последней таблицы.

4).Из полученного решения системы заключаем, что невозможно выпускать 100 трансформаторов в месяц, используя при этом все ресурсы. Задача решений не имеет.



 На звероферме выращиваются лисицы и песцы, которым необходимы три вида кормов (k₁;k₂;k₃). Одной лисице требуется 2 кг 1-го корма, 4 кг 2-го корма и 6 кг 3-го корма в неделю. Одному песцу требуется соответственно 3 кг, 1 кг и 7 кг каждого корма. Недельные запасы кормов составляют 180 кг, 240 кг и 420 кг. Сколько лисиц и песцов можно выращивать на ферме, если допустимо не полное использование запаса каждого из кормов? Оценить остатки кормов при выбранном поголовье.

1). Сведем условия задачи в таблицу

Вид корма	Недельный рацион для одной (-го) лисицы(кг) песца(кг)	Недельный запас корма(кг)
k1	2 3	180
k2	4 1	240
k3	6 7	420

Для составления математической модели введем неизвестные: - количество лисиц, - количество песцов, очевидно, это должны быть целые числа. Так как в задаче не требуется полного использования запасов кормов, введем - остаток корма k₁ (кг), - остаток корма k₂ (кг), - остаток корма k₃ (кг).

Тогда, при использовании его расход будет составлять (кг) - для кормления поголовья лисиц и песцов, что в сумме с остатком корма k₁ – x₃, кг должно составлять недельный запас этого корма, т.е. . Аналогично составляются уравнения, учитывающие расходы кормов k₂ и k₃:

Математическая модель задачи - система линейных алгебраических уравнений

2). В матричном виде:

3). Для решения задачи выпишем расширенную матрицу системы

.

Преобразований расширенной матрицы не требуется, т.к. очевидно, что неизвестные являются базисными.

Найдем из первого уравнения базисное неизвестное , из второго - , из третьего - , выраженные через свободные неизвестные х₁, х₂ :

.

Тогда общее решение системы:

.

Прежде чем найти какое-нибудь частное решение, необходимо определить, при каких значениях свободных неизвестных x₁ и x₂ компоненты вектора будут неотрицательны (что требуют условия задачи). То есть найдем область изменения переменных x₁ и x₂, удовлетворяющую системе неравенств:

или

Очевидно, эта область будет расположена в плоскости . Построим граничные прямые, соответствующие записанным неравенствам:

Затем стрелками отметим полуплоскости, являющиеся областями решения каждого из неравенств. Пересечение этих полуплоскостей и есть искомая область, в которой все компоненты будут неотрицательны (заштрихована).

П римечание. Если не существует область, в которой все компоненты вектора не отрицательны, значит, не существует допустимых решений данной задачи.

4).Из полученного решения заключаем, что при выборе переменных и - количество лисиц и песцов из данной области получаем множество целых неотрицательных решений задачи. Из практических соображений желательно иметь поголовье побольше. Пусть на звероферме содержится лисиц и песцов (точка А на рис. имеет координаты: А(35,30)). Оценим остатки кормов при выбранном поголовье:

(кг); (кг); (кг).

Одно из частных решений задачи:

5). Сделаем проверку по частному решению



42