Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
80
Добавлен:
02.02.2015
Размер:
335.87 Кб
Скачать

Тема 1. Примеры

Примеры выполнения обязательного задания по теме 1

 

Задание 1. Заданы матрицы А, В, С. Найти матрицу F, выполнив указанные действия над матрицами.

 ПРИМЕР

При выполнении действий в скобках следует использовать правила умножения матрицы на число и алгебраического сложения матриц.

Найдем С-1 – матрицу, обратную матрице С, по формуле:

где detC – определитель матрицы, - алгебраические дополнения элементов матрицы С.

Используем теорему о разложении определителя и разложим его по элементам 3-го столбца,

или вычислим определитель третьего порядка по правилу треугольников.

, следовательно, обратная матрица существует.

Алгебраические дополнения:

Для контроля можно проверить, правильно ли найдена обратная матрица, по ее определению.

Используем правило умножения матриц "строка на столбец":

Выполним умножение матриц для получения окончательного ответа.

Обратите внимание: постоянный множитель можно вынести, но менять местами матрицы нельзя!

 

Задание 2. Вычислить определитель третьего порядка по правилу треугольников.

 ПРИМЕР

Для контроля можно вычислить определитель по теореме разложения. Разложим определитель по второй строке (желательно выбирать такой ряд определителя, в котором наибольшее количество нулей).

 

Задание 3. Вычислить определитель методом понижения порядка.

ПРИМЕР

Если в каком-либо ряду определителя есть общий множитель, его следует вынести.

Выбираем элемент определителя 1 или –1 (если таких элементов нет, следует получить хотя бы одну +1 или –1, складывая или вычитая ряды определителя).

Стрелки означают действия, которые в данном случае производятся над столбцами определителя. Начало всех стрелок – на третьем столбце. Это означает, что третий столбец не изменится. Концы стрелок указывают на изменяющийся столбец. Например, здесь: - к первому столбцу будет прибавлен третий, - ко второму также прибавлен третий, - к четвертому будет прибавлен третий, умноженный на 2.

Такие действия не изменяют величины определителя по свойству 5, а направлены они на то, чтобы получить нулевые элементы во второй строке.

Теперь во второй строке остался единственный ненулевой элемент, и разложение определителя по второй строке будет состоять из единственного слагаемого. Из рядов полученного определителя 3- го порядка можно вынести общие множители: из 1-го столбца 2; из 2-го столбца 3.

Еще раз понизим порядок определителя. На этот раз действия производятся над строками для получения нулевых элементов во втором столбце.

;

 

Задание 4. Решить СЛАУ: а) методом Крамера; б) с помощью обратной матрицы. Сделать проверку.

 ПРИМЕР

а) Для решения системы по правилу Крамера надо вычислить определители:

- главный,

- вспомогательные.

Тогда

Ответ:

б) С помощью обратной матрицы вектор решений системы находится по формуле:

где

Найдем обратную матрицу системы:

(из задания а)).

При решении способами а) и б) получены одинаковые результаты.

Проверка. Обратите внимание ! → если делается проверка СЛАУ, обязательно проверять все имеющиеся уравнения.

 

Задание 5. Решить две СЛАУ, отличающиеся только правыми частями, методом полного исключения (МПИ). Сделать вывод о виде системы.

 ПРИМЕР

СЛАУ, отличающиеся только правыми частями, можно решать в одной таблице, предусмотрев в ней два столбца для правых частей.

х1

х2

х3

b1

b2

1

2

4

3

1

-1

1

0

2

2

4

-2

-1

-4

-2

-5

3

2

10

7

Выбираем коэффициент 1 при х2, выполняем действия над строками матрицы, обозначенные стрелками

-3

6

4

3

0

0

1

0

-2

6

4

4

1

-6

-2

-5

-7

12

10

7

:6

х2 – базисное неизвестное. Сократим второе уравнение на 6.

-3

1

4

3

0

0

1

0

-2

1

4

4

1

-1

-2

-5

-7

2

10

7

Выполняем действия по МПИ для х3

-1

1

0

-1

0

0

1

0

0

1

0

0

-1

-1

2

-1

-3

2

2

-1

х3 – базисное неизвестное. В первой системе (правая часть b1) получены две одинаковые строки: первая и третья. Во второй системе (b2) они различны.

-1

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

-1

-2

2

0

-3

-1

2

2

*(-1)

После выполнения действий МПИ можно убедиться, что в первой системе третья строка может быть отброшена как нулевая, а во второй она имеет вид: 0=2, что означает несовместность этой системы.

Вывод. В первой системе все неизвестные являются базисными. Следовательно, она совместная и определенная. Ответ для первой системе получаем из последней таблицы: -х1=-1, х3=-2, х2=2 или

Вторая система несовместна, не имеет решений.

Проверка. Только для первой системы:

 

Задание 6. Решить СЛАУ методом полного исключения. Записать: общее частное, базисное решения, по частному решению сделать проверку. Построить область неотрицательных решений.

 ПРИМЕР

х1

х2

х3

х4

b

1

-1

2

1

1

1

3

1

4

-1

3

-3

4

4

4

1

-2

1

1

0

0

3

-2

1

-1

4

-2

4

0

0

х2 является базисным неизвестным. Вторая и третья строки пропорциональны. Уже на этом этапе можно отбросить одну из них.

0

0

1

1

0

0

2

0

1

1

0

-2

4

0

0

Нулевая строка отбрасывается. х1–базисное неизвестное.

Базисные неизвестные: х1, х2; свободные: х3, х4. Выразим базисные неизвестные через свободные:

Система является совместной и неопределенной. В общем решении базисные неизвестные выражаются через свободные:

Частное решение получим, задавая свободные неизвестные, например: х3=1, х4=-2.

Базисное решение будет получено, если все свободные неизвестные задать равными нулю.

Проверка по частному решению:

Построение области неотрицательных решений системы.

В общем решении системы получены два свободных неизвестных, их изменение будет определять нужную область, поэтому она будет расположена на плоскости (х3; х4). Запишем условия неотрицательности всех неизвестных из общего решения системы:

Каждое неравенство системы геометрически представляет собой полуплоскость. Пересечение полуплоскостей даст нужную область (она может быть как открытой, так и закрытой).

- обозначены граничные прямые полуплоскостей.

Неравенства х30; х40, очевидно, определяют первую четверть.

Для определения нужной полуплоскости надо взять любую точку, не лежащую на граничной прямой, и проверить выполнение соответствующего неравенства. Если неравенство выполняется, то выбранная точка лежит в нужной полуплоскости, если не выполняется – искомая полуплоскость с противоположной стороны от граничной прямой. Нужные полуплоскости отмечаются стрелками от граничной прямой.

После построения граничных прямых возьмем, например, точку А(2;2) и проверим выполнение неравенств:

3+2х40; -2+40 – выполняется,

2х344; 4+24 – не выполняется.

Стрелки от прямых l1 и l2 на рисунке показывают полуплоскости, в которых неравенства выполняются.

Область неотрицательных решений заштрихована. Для проверки можно взять любую точку из этой области и подставить в систему неравенств. Например: (1; 1) : - все неравенства выполняются.

 

Задание 7. Решить задачу с экономическим содержанием.

В связи с большим разнообразием вариантов решения задач приведено четыре примера.

 ПРИМЕРЫ

Из листового материала необходимо выкроить 200 заготовок типа А, 260 заготовок типа В и 290 - типа С. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при данном способе раскроя, указано в таблице:

Тип

заготовки

Способ раскроя

1-й 2-й 3-й

Потребность

в заготовках

A

B

C

3 2 1

1 6 2

4 1 5

200

260

290

Установить, сколько листов потребуется для полного удовлетворения потребностей в заготовках каждого типа.

35

Соседние файлы в папке ФУБ семестр 1