kornil / ФУБ семестр 1 / p29_35
.docТема 1. Примеры
Примеры выполнения обязательного задания по теме 1
Задание 1. Заданы матрицы А, В, С. Найти матрицу F, выполнив указанные действия над матрицами.
ПРИМЕР
При выполнении действий в скобках следует использовать правила умножения матрицы на число и алгебраического сложения матриц.
Найдем С-1 – матрицу, обратную матрице С, по формуле:
где detC – определитель матрицы, - алгебраические дополнения элементов матрицы С.
Используем теорему о разложении определителя и разложим его по элементам 3-го столбца, |
|
или вычислим определитель третьего порядка по правилу треугольников. |
, следовательно, обратная матрица существует.
Алгебраические дополнения:
Для контроля можно проверить, правильно ли найдена обратная матрица, по ее определению.
Используем правило умножения матриц "строка на столбец":
Выполним умножение матриц для получения окончательного ответа.
Обратите внимание: постоянный множитель можно вынести, но менять местами матрицы нельзя!
Задание 2. Вычислить определитель третьего порядка по правилу треугольников.
ПРИМЕР
Для контроля можно вычислить определитель по теореме разложения. Разложим определитель по второй строке (желательно выбирать такой ряд определителя, в котором наибольшее количество нулей).
Задание 3. Вычислить определитель методом понижения порядка.
ПРИМЕР
Если в каком-либо ряду определителя есть общий множитель, его следует вынести.
|
Выбираем элемент определителя 1 или –1 (если таких элементов нет, следует получить хотя бы одну +1 или –1, складывая или вычитая ряды определителя). |
Стрелки означают действия, которые в данном случае производятся над столбцами определителя. Начало всех стрелок – на третьем столбце. Это означает, что третий столбец не изменится. Концы стрелок указывают на изменяющийся столбец. Например, здесь: - к первому столбцу будет прибавлен третий, - ко второму также прибавлен третий, - к четвертому будет прибавлен третий, умноженный на 2.
Такие действия не изменяют величины определителя по свойству 5, а направлены они на то, чтобы получить нулевые элементы во второй строке.
Теперь во второй строке остался единственный ненулевой элемент, и разложение определителя по второй строке будет состоять из единственного слагаемого. Из рядов полученного определителя 3- го порядка можно вынести общие множители: из 1-го столбца 2; из 2-го столбца 3. |
|
|
Еще раз понизим порядок определителя. На этот раз действия производятся над строками для получения нулевых элементов во втором столбце. |
; |
Задание 4. Решить СЛАУ: а) методом Крамера; б) с помощью обратной матрицы. Сделать проверку.
ПРИМЕР
а) Для решения системы по правилу Крамера надо вычислить определители:
- главный,
- вспомогательные.
Тогда
Ответ:
б) С помощью обратной матрицы вектор решений системы находится по формуле:
где
Найдем обратную матрицу системы:
(из задания а)).
При решении способами а) и б) получены одинаковые результаты.
Проверка. Обратите внимание ! → если делается проверка СЛАУ, обязательно проверять все имеющиеся уравнения.
Задание 5. Решить две СЛАУ, отличающиеся только правыми частями, методом полного исключения (МПИ). Сделать вывод о виде системы.
ПРИМЕР
СЛАУ, отличающиеся только правыми частями, можно решать в одной таблице, предусмотрев в ней два столбца для правых частей.
х1 |
х2 |
х3 |
b1 |
b2 |
|
|
1 2 4 3 |
1 -1 1 0 |
2 2 4 -2 |
-1 -4 -2 -5 |
3 2 10 7 |
|
Выбираем коэффициент 1 при х2, выполняем действия над строками матрицы, обозначенные стрелками |
-3 6 4 3 |
0 0 1 0 |
-2 6 4 4 |
1 -6 -2 -5 |
-7 12 10 7 |
:6 |
х2 – базисное неизвестное. Сократим второе уравнение на 6. |
-3 1 4 3 |
0 0 1 0 |
-2 1 4 4 |
1 -1 -2 -5 |
-7 2 10 7 |
|
Выполняем действия по МПИ для х3 |
-1 1 0 -1 |
0 0 1 0 |
0 1 0 0 |
-1 -1 2 -1 |
-3 2 2 -1 |
|
х3 – базисное неизвестное. В первой системе (правая часть b1) получены две одинаковые строки: первая и третья. Во второй системе (b2) они различны. |
-1 0 0 0 |
0 0 1 0 |
0 1 0 0 |
-1 -2 2 0 |
-3 -1 2 2 |
*(-1) |
После выполнения действий МПИ можно убедиться, что в первой системе третья строка может быть отброшена как нулевая, а во второй она имеет вид: 0=2, что означает несовместность этой системы. |
Вывод. В первой системе все неизвестные являются базисными. Следовательно, она совместная и определенная. Ответ для первой системе получаем из последней таблицы: -х1=-1, х3=-2, х2=2 или
Вторая система несовместна, не имеет решений.
Проверка. Только для первой системы:
Задание 6. Решить СЛАУ методом полного исключения. Записать: общее частное, базисное решения, по частному решению сделать проверку. Построить область неотрицательных решений.
ПРИМЕР
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
b |
|
|
1 -1 2 |
1 1 1 |
3 1 4 |
-1 3 -3 |
4 4 4 |
|
|
1 -2 1 |
1 0 0 |
3 -2 1 |
-1 4 -2 |
4 0 0 |
|
х2 является базисным неизвестным. Вторая и третья строки пропорциональны. Уже на этом этапе можно отбросить одну из них. |
0 0 1 |
1 0 0 |
2 0 1 |
1 0 -2 |
4 0 0 |
|
Нулевая строка отбрасывается. х1–базисное неизвестное. |
Базисные неизвестные: х1, х2; свободные: х3, х4. Выразим базисные неизвестные через свободные:
Система является совместной и неопределенной. В общем решении базисные неизвестные выражаются через свободные:
Частное решение получим, задавая свободные неизвестные, например: х3=1, х4=-2.
Базисное решение будет получено, если все свободные неизвестные задать равными нулю.
Проверка по частному решению:
Построение области неотрицательных решений системы.
В общем решении системы получены два свободных неизвестных, их изменение будет определять нужную область, поэтому она будет расположена на плоскости (х3; х4). Запишем условия неотрицательности всех неизвестных из общего решения системы:
Каждое неравенство системы геометрически представляет собой полуплоскость. Пересечение полуплоскостей даст нужную область (она может быть как открытой, так и закрытой).
- обозначены граничные прямые полуплоскостей.
Неравенства х30; х40, очевидно, определяют первую четверть.
Для определения нужной полуплоскости надо взять любую точку, не лежащую на граничной прямой, и проверить выполнение соответствующего неравенства. Если неравенство выполняется, то выбранная точка лежит в нужной полуплоскости, если не выполняется – искомая полуплоскость с противоположной стороны от граничной прямой. Нужные полуплоскости отмечаются стрелками от граничной прямой.
После построения граничных прямых возьмем, например, точку А(2;2) и проверим выполнение неравенств:
-х3+2х40; -2+40 – выполняется,
2х3+х44; 4+24 – не выполняется.
Стрелки от прямых l1 и l2 на рисунке показывают полуплоскости, в которых неравенства выполняются.
Область неотрицательных решений заштрихована. Для проверки можно взять любую точку из этой области и подставить в систему неравенств. Например: (1; 1) : - все неравенства выполняются.
Задание 7. Решить задачу с экономическим содержанием.
В связи с большим разнообразием вариантов решения задач приведено четыре примера.
ПРИМЕРЫ
Из листового материала необходимо выкроить 200 заготовок типа А, 260 заготовок типа В и 290 - типа С. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при данном способе раскроя, указано в таблице:
Тип заготовки |
Способ раскроя1-й 2-й 3-й |
Потребность в заготовках |
A B C |
3 2 1 1 6 2 4 1 5 |
200 260 290 |
Установить, сколько листов потребуется для полного удовлетворения потребностей в заготовках каждого типа.