kornil / ФУБ семестр 1 / p53_57

Тема 2. Теория

Собственные векторы и собственные значения (числа) матрицы

 Ненулевой вектор называется собственным вектором матрицы , если найдется такое число , что

.

 Число называется собственным значением (числом) матрицы , соответствующим вектору . Равенство, определяющее собственный вектор, можно записать в матричной форме: , или в развернутом виде:

Перепишем систему так, чтобы в правых частях были нули:

или в матричном виде: . Эта однородная система всегда имеет нулевое решение . Для существования ненулевого решения (при этом система будет неопределена) необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю:

.

Определитель системы является многочленом n-ой степени относительно . Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы А, а уравнение - характеристическим уравнением.

ПРИМЕР.

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Составим характеристическое уравнение: , или . Отсюда - собственные значения.

Определим собственный вектор , соответствующий первому собственному числу . Для этого подставим в систему: . Система для определения собственного вектора всегда будет неопределенной, то есть, в ней будет хотя бы одно свободное неизвестное.

; ; .

Очевидна пропорциональность строк матрицы системы, одно из уравнений можно отбросить. Из оставшегося получим , где - свободная переменная. Положив для удобства , получим, что вектор при любом являются собственными векторами матрицы , соответствующими собственному значению . Аналогично определяется собственный вектор, соответствующие второму собственному значению .

или , .

Если положить , то вектор при любом является собственными векторами матрицы , соответствующими собственному значению .

 Теорема. Если собственные значения матрицы попарно различны (среди них нет кратных значений), то ее собственные векторы являются линейно независимыми и составляют базис в пространстве.

Зная собственные векторы, можно построить матрицу перехода из исходного базиса в базис из собственных векторов:

и найти .

Матрица в базисе, состоящем из ее собственных векторов, является диагональной и имеет вид: .

Линейные и квадратичные формы

При решении различных прикладных задач, например, задач об экстремуме (максимуме или минимуме) функций, приходиться исследовать так называемые линейные и квадратичные формы.

 Линейная форма или - это сумма, каждый член которой является линейным относительно соответствующей переменной:

или в сокращенной форме .

Здесь с_i , i=1,n – произвольные постоянные.

Если ввести вектор коэффициентов линейной формы , то по определению скалярного произведения и линейная форма может быть записана в виде .

Особое значение имеют линейные формы в линейном программировании, где они исследуются на экстремум в некоторой области.

 Квадратичной формой от n переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:

Будем рассматривать такие квадратичные формы, у которых коэффициенты действительные числа, причем . Тогда

 Матрица , составленная из этих коэффициентов, называется матрицей квадратичной формы, причем эта матрица будет квадратной и симметричной

Если вспомнить правило умножения матриц "строка на столбец" (тема 1), то можно показать, что в матричной записи квадратичная форма имеет вид:

Квадратичная форма называется канонической, если все коэффициенты , т.е. каноническая квадратичная форма имеет вид : , а её матрица В является диагональной.

 Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если при всех значениях переменных, из которых хотя бы одно отлично от нуля, F(x₁,x₂,,x_n)>0, (F(x₁,x₂,,x_n)<0) и положительно (отрицательно) полуопределенной, если F(x₁,x₂,,x_n)0, (F(x₁,x₂,,x_n)0).

Существует два способа проверить знакоопределенность квадратичных форм.

 Теорема 1. Для того, чтобы квадратичная форма была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы этой квадратичной формы были положительны (отрицательны).

Чаще для установления знакоопределенности квадратичной формы пользуются критерием Сильвестра-Якоби.

 Теорема 2 (критерий Сильвестра-Якоби):

1) Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы этой формы были положительны, т.е. , где

.

2) Для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки главных диагональных миноров матрицы этой формы чередовались, начиная со знака «-» для ; т.е. если n четное и если n нечетное.

При любых других сочетаниях знаков (и равенстве нулю) главных диагональных миноров квадратичная форма не является знакоопределенной.

Линейная модель обмена, как математическая модель

экономического процесса

В качестве примера применения аппарата линейной алгебры к анализу экономических процессов рассмотрим линейную модель обмена или модель международной торговли.

Пусть имеется n стран S₁, S₂,, S_n, национальный доход каждой из которых равен соответственно х₁, х₂,, х_n. Обозначим коэффициентами a_ij доли национального дохода, которую страна S_j тратит на покупку товаров у страны S_i. Будем считать, что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран, т.е.

Рассмотрим матрицу ,

которая получила название структурной матрицы торговли. Сумма элементов любого столбца матрицы А равна 1.

Для любой страны S_i выручка от внутренней и внешней торговли составит:

.

Поставим задачу определить, как должны соотноситься национальные доходы стран для сбалансированной торговли. Сбалансированную торговлю обеспечит бездефицитность торговли каждой страны S_i, т.е. выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше ее национального дохода: p_i  x_i.

Если считать, что p_i>x_i , то получим систему неравенств

Сложив все неравенства системы, получим после группировки x₁(a₁₁+a₂₁++a_n1)+x₂(a₁₂+a₂₂++a_n2)++x_n(a_1n+a_2n++a_nn) > x₁+x₂++x_n.

Суммы в скобках равны единице, и мы приходим к противоречивому неравенству

x₁+x₂++x _n> x₁+x₂++x_n.

Таким образом, неравенство p_i>x_i невозможно, и условие p_ix_i принимает вид p_i=x_i. (С экономической точки зрения это понятно, так как все страны не могут одновременно получать прибыль).

Вводя вектор национальных доходов стран, получим матричное уравнение , т.е. задача свелась к отысканию собственного вектора матрицы А, отвечающему собственному значению =1.

ПРИМЕР. Структурная матрица торговли трех стран S₁, S₂, S₃ имеет вид:

.

Найти, какими должны быть национальные доходы стран для сбалансированной торговли.

Находим собственный вектор , отвечающий собственному значению =1, решив уравнение или систему

.

Попробуйте самостоятельно получить следующий результат - если свободным неизвестным оставить х₃, и положить х₃=с, то

х₁=(3/2)с, х₂=2с, х₃=с, т.е. .

Полученный результат означает, что сбалансированность торговли трех стран достигается при векторе национальных доходов , т.е. если национальные доходы стран находятся в отношении 1,5:2:1.

57