Тема 3. Теория

Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости

и в пространстве

Начальное понятие аналитической геометрии – понятие точки. Будем считать, что в рассматриваемом пространстве существует прямоугольная система координат. Тогда любая точка будет характеризоваться двумя координатами М(x; y) на плоскости, либо тремя M(x; y; z) в пространстве.

Множества точек могут образовывать линии или поверхности. При этом координаты точек, принадлежащих линии или поверхности, подчинены определенной закономерности, связаны аналитическим выражением, которое называется уравнением линии или поверхности.

F(x;y) = 0 или y=f(x) – уравнение линии;

F(x; y; z)=0 или z=f(x;y) – уравнение поверхности.

Чтобы убедиться, что точка M(a; b) лежит, например, на линии, надо подставить ее координаты в уравнение линии. Если F(a;b)=0, то М принадлежит данной линии, F(a;b)0, то М не принадлежит линии.

Аналитическая геометрия на плоскости.

Виды уравнений прямой линии

Уравнение	Название
Ax+By+C=0;	Общий вид
y = k x+b	С угловым коэффициентом k
y - y0 = k (x-x0)	Пучок прямых, проходящих через т. М(x0,y0)
;	Проходящей через две заданные точки M1(x1,y1); M2(x2,y2)
	В отрезках на осях ( a, b – отрезки, отсекаемые прямой соответственно на осях ОХ и OY)

Угловой коэффициент k – важнейшая характеристика прямой линии. Напомним, что k – это тангенс угла наклона прямой к оси ОХ (на рис. tg). Рассмотрим частные случаи положения прямых на плоскости.

Ax+By=0 или y =k x; уравнение прямой, проходящей через начало координат. k – конечное число, 0. При k=1 – биссектриса I-III четверти При k=-1 – биссектриса II-IV четверти.
By+C=0 или y=b – уравнение прямой, параллельной оси ОХ (b – любого знака). y = b  k = 0.
Ax+C=0 или x=a – уравнение прямой, параллельной оси OY (а – любого знака). k; не существует. x = a  k  ..

Некоторые задачи аналитической геометрии на плоскости.  Угол между двумя прямыми (1) и (2) с угловыми коэффициентами соответственно k1 и k2 определяется по его тангенсу: , где стрелка означает, что угол  отсчитывается поворотом от первой прямой ко второй против часовой стрелки.

 Из этой формулы можно получить условия параллельности () и перпендикулярности () двух прямых.

Условие параллельности ().	Условие перпендикулярности ().
и tg = 0  k1 = k2

 Формула для вычисления расстояния от точки M(x₀; y₀) до прямой, заданной уравнением в общем виде Ax+By+C=0 имеет вид

Кривые второго порядка

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид алгебраического уравнения 2-й степени:

Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0. (*)

На плоскости существует всего три типа кривых второго порядка: эллипс (частный случай – окружность), гипербола и парабола. Для наглядности сведения о кривых представлены в таблице.

Если выполнить операцию выделения полных квадратов по переменным x и y, то заданное уравнение (*)

• либо приводится к виду, представленному в III колонке таблицы, определяются основные характеристики кривой (центр, полуоси и т.п.) и кривая изображается на чертеже,

• либо не соответствует ни одному из уравнений кривых второго порядка.

Во второй колонке (II) таблицы приведены уравнения канонически расположенных кривых, центр (для эллипса и гиперболы) или вершина (для параболы) которых совпадает с началом координат. В третьей колонке (III) – уравнения смещенных кривых – это кривые, оси симметрии которых параллельны осям координат, а центр (или вершина) лежит в некоторой точке (x₀,y₀).

I.	II.	III.	IV.
Кривая 2-го порядка	Каноническое уравнение	Уравнение смещенной кривой	Рисунок
Эллипс
	a, b – полуоси эллипса; (x0 , y0) – координаты центра смещенной кривой.
Окружность
Гипербола
Сопряженная гипербола
	a, b – полуоси гиперболы; (x0, y0) – координаты центра смещенной кривой.
Парабола
	p – параметр; (x0; y0) – координаты вершины смещенной параболы. Ось симметрии параллельна ОХ. р>0 – ветви вправо, p<0 – ветви влево
Парабола
	p – параметр; (x0; y0) – координаты вершины смещенной параболы . Ось симметрии параллельна ОY. р>0 – ветви вверх, p<0 – ветви вниз.

Примеры решения стандартных задач аналитической геометрии в плоскости приведены в разделе "Примеры выполнения обязательного задания по теме 3".

74