Тема 3. Примеры

Примеры выполнения обязательного задания по теме 3.

 

Задание 1. Даны координаты вершин треугольника PSQ:

P(3;-2); S(1;4); Q(-2;1).

 ПРИМЕР

1. Составим уравнение прямой PS, используя уравнение прямой, проходящей через две точки.

Общая формула
; S(х1,у1); P(х2,у2)	; .

Уравнение прямой PS: 3 х + y - 7=0.

Угловой коэффициент: .

2. Составим уравнение прямой .

Из условия перпендикулярности прямых: .

Составим уравнение . Из условия параллельности: . Используем уравнение пучка прямых, проходящих через точку Q(x₀; y₀).

Общая формула
; Q(х0 ,у0); k=kQD или k=kQК	QD: ;. QK:

Уравнение прямой QD QD: x-3y+5=0.

Уравнение прямой QK QK: 3x+y+5=0.

3. Найдем расстояние от точки Q до прямой PS по формуле.

Общая формула
; Q(x0; y0)

.

4. Найдем точку D, как точку пересечения прямых PS и QD , решая систему уравнений

.

Для решения системы можно использовать правило Крамера.

5. Найдем тангенс угла между прямыми PQ и SQ.

Угловые коэффициенты прямых, проходящих через две точки:

Общая формула
или

Тангенс угла  - между PQ и SQ :

Общая формула

6. Ч ертеж:

 

Задание 2. Определить кривые второго порядка и построить их на чертеже.

 ПРИМЕРЫ



Выделим полные квадраты по

переменным х и y:

Уравнение приведено к виду III:

.

Это уравнение окружности.

Центр окружности: C(x₀;y₀)=C(-2;1),

радиус





Выделяем полные квадраты:

;

;

;

.

Уравнение приведено к виду III: - это уравнение эллипса. Центр эллипса в точке C(x₀;y₀)=C(2;-4).

Полуоси: .

Строим прямоугольник со сторонами 2а=12 и 2b=62 так, чтобы центр был в точке С. Затем в прямоугольник вписываем эллипс.

 

 ;

Выделяем полные квадраты:

;

;

;

.

Уравнение приведено к виду III: , это сопряженная гипербола. Ее центр – точка С(x₀;y₀)=C(2;-1), полуоси . Построение гиперболы начинают с построения характеристического прямоугольника со сторонами 2а и 2b и центром в точке С. Затем в этом прямоугольнике проводят диагонали, выходящие за его рамки, которые будут асимптотами гиперболы. Если гипербола обычная, то две ее ветви будут находится слева и справа от характеристического прямоугольника, в углах, образованных его диагоналями. Если гипербола сопряженная, то ветви находятся сверху и снизу. Вершины гиперболы – это точки касания ветвей и характеристического прямоугольника (точки А и В).





Выделим полный квадрат для переменной х:

.

Уравнение приведено в надлежащий вид: , это уравнение параболы. Для параболы определяем:

• координаты вершины: ;

• направление ветвей и ось симметрии: ветви направлены вниз, ось симметрии параллельна оси OY, ;

• параметр параболы: ;

• для удобства построения можно определить (приблизительно) точки пересечения параболы с осью ОХ (или OY) y=0; 3x²-10x+3=0; D=64. - точки пересечения с осью ОХ, х=0; y=-3 – точка пересечения с осью OY.



90