Тема 3. Примеры

 

Задание 3. Заданы координаты точек S₀ , S₁ , S₂ , S₃ и векторы .

S0	S1	S2	S3
(-1;2;1)	(3;-4;2)	(4;1;-3)	(2;-1;-2)	(1;3;-5)	(-3;1;4)

 ПРИМЕР

1. Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку S₀ с нормальным вектором .

Общая формула
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0; ; S0(х0 , у0 , z0)	-3(x+1)+1(y-2)+4(z-1)=0; -3x+y+4z-9=0

Уравнение плоскости 3x – y - 4z + 9 = 0 : (1)

2. Запишем уравнение плоскости, проходящей через точки S₁ , S₂ , S₃.

Общая формула
; S1(х1 ,у1 ,z1); S2(х2 ,у2 ,z2); S3(х3 ,у3 ,z3)	;. Раскроем определитель по первой строке.

;

;

: (2)

3. Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку S₁, параллельно векторам .

Общая формула
S1(x0, y0, z0); и	. Раскроем определитель по первой строке:

;

17(x-3)+11(y+4)+10(z-2)=0;

17x+11y+10z-27=0 : (3)

4. Запишем уравнение плоскости, проходящей через точки S₂ , S₃ параллельно вектору .

Общая формула
S2(x1,y1.z1); S3(x2,y2,z2);	. Раскроем определитель по первой строке:

;

7(x-4) - 9(y-1) - 4(z+3) = 0;

7x - 9y - 4z – 31 = 0 : (4)

5. Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку S₀ , перпендикулярно плоскостям (3) и (4).

Общая формула
; S0(х0 ,у0 ,z0);	, здесь Раскроем определитель по первой строке:

;

46(x+1) + 138(y-2) - 230(z-1) = 0  :2;

23x + 69y - 115z = 0 : (5)

6. Найдем расстояние от точки S₀ до плоскости (2) и запишем канонические уравнения перпендикуляра, опущенного из точки S₀ на плоскость (2).

Общая формула
S0(x1,y1,z1);	25x + 3y + 8z – 79 = 0 : (2)

Канонические уравнения перпендикуляра, опущенного из т. S₀(x₁,y₁,z₁ ) на плоскость (2). Из условия перпендикулярности прямой и плоскости:

можно принять .

Направляющий вектор перпендикуляра (6):

Канонические уравнения:

Общая формула
; S0 (x0 , y0, z0)	: (6)

7. Запишем канонические уравнения прямой, проходящей через точки S₁ , S₂ .

Общая формула
S1(x1, y1 , z1); S2(x2, y2, z2)	: (7)

Для записи параметрических уравнений выпишем направляющий вектор прямой (7): , и выберем в качестве точки, через которую проходит эта прямая, например, т.S₂(x₀, y₀, z₀).

: (7)

8. Найдем канонические и параметрические уравнения прямой, заданной пересечением плоскостей (2) и (3).

Найдем направляющий вектор прямой (8):

Так как в качестве направляющего можно выбрать любой вектор, параллельный прямой, разделив все координаты на(-2), примем

Найдем любую точку М₀, принадлежащую прямой (8). Зададим одну ее координату, например х₀=0, подставим в общий вид уравнений и получим для координат y₀, z₀ следующую систему уравнений:

Решим ее по правилу Крамера:

Канонические уравнения прямой (8):

Общая формула
	: (8)

Параметрические уравнения прямой (8):

Общая формула
	: (8)

9. Проверим, пересекаются ли прямые (6) и (7).

: (6); :(7).

Выпишем направляющие векторы из уравнений прямых ():

Координаты точек (М₁(x₁, y₁, z₁); M₂(x₂, y₂, z₂)), принадлежащих соответствующим прямым:M₁(-1, 2, 1)=S₀; M₂(3, -4, 2)=S₁(также из уравнений прямых). Вектор

Проверим условие пересечения прямых в пространстве:

Общая формула
	Прямые (6) и (7) не пересекаются.

 

Задание 4. Решить задачи с экономическим содержанием, применяя уравнения линейной зависимости или уравнения кривых 2-го порядка. Все зависимости у=у(х) и другие функции, заданные и полученные в процессе решения задачи изображать графически.

Рассмотрим некоторые примеры линейной зависимости в экономике:

1. Если через k обозначить тариф перевозки груза на единицу расстояния, b – издержки при перевозки при перевозке груза, не зависящие от расстояния х, то общую стоимость y перевозки груза на расстояние х можно вычислить по формуле y = k x+b.

2. Если обозначить через y издержки предприятия в течение месяца при выпуске х единиц однородной продукции, то они могут быть определены по формуле y = k x+b, а величина k x будет определять временные издержки, зависящие от объема выпуска (где k – издержки предприятия в течение месяца на единицу продукции). Величина b определяет постоянные издержки предприятия, не зависящие от объема выпускаемой продукции (издержки за счет амортизации здания, заработной платы охраны, служащих и вспомогательных рабочих, отопление здания и т.п.).