 Примеры

 Валовая продукция на 1га сельскохозяйственных угодий с 1980 по 1984 г. увеличилась на 24,4%. Составить уравнение прямой изменения валовой продукции на 1га за 1980-1984 г. при условии, что валовая продукция в процентах изменяется пропорционально времени.

Валовую продукцию, выпущенную в 1980 г., примем за 100% и будем искать уравнение прямой в виде y=kx+b.

Итак, k – годовой прирост валовой продукции, y=6.1x – 11978 (x – год). 

 Предположим, что оборудование переносит свою стоимость на изготовленную продукцию с течением времени t по линейному закону. Пусть начальная стоимость 25 т. ден. ед., а срок службы до полного износа 10 лет. Построить линию зависимости стоимости оборудования от срока службы и определить, какова будет стоимость оборудования через 8 лет.

Найдем зависимость y – стоимости оборудования от срока его эксплуатации t, т.е. y=y(t). По условию задачи это прямая (линейный закон). Известно, что она проходит через две точки: в начальный момент времени t₀=0 (покупка оборудования) стоимость оборудования y₀=25 т. ден. ед. Это дает точку с координатами М₀(t₀; y₀)=M₀(0; 25). В конечный момент времени t_k=10 лет (окончание срока службы оборудования) его стоимость y_k=0. Это дает точку M_k(t_k; y_k)=M_k(10; 0).

Составим уравнение прямой, проходящей через две точки:или.

Через 8 лет эксплуатации стоимость оборудования (т. ден. ед.).



 Издержки перевозок у (ден. ед.) двумя видами транспорта выражаются линейно в зависимости от x(км₎ – расстояния перевозок: y₁=50x+150; y₂=25x+250. Объяснить экономический смысл свободного члена в этих уравнениях и определить, при каких расстояниях экономичнее пользоваться вторым видом транспорта.

Свободный член в этих уравнениях определяет транспортные издержки, не зависящие от расстояния, на которое перевозятся грузы. Это могут быть амортизационные расходы, ремонт и т.д.

Найдем расстояние, при котором издержки перевозок обоими видами транспорта будут одинаковы, y₁=y₂.

50x+150=25x+250; x=4 (км.)

Тогда y₁(4)=y₂(4)=350 (ден. ед.)

Если построить данные линейные зависимости графически, то точкой пересечения прямых прямых y₁ и y₂ будет точка с координатами (4; 350).

По графику видно, что приx>4, т.е. расстояниях свыше четырех километров, выгоднее пользоваться вторым видом транспорта.

Тот же результат можно получить, решая неравенство y₂<y₁;

25x+250<50x+150; x>4.



 Два однотипных предприятия А и В производят продукцию с одной и той же оптовой отпускной ценой p за одно изделие. Однако автопарк, обслуживающий предприятие А, оснащен более новыми и более мощными грузовыми автомобилями. В результате этого транспортные расходы на перевозку одного изделия составляют на 1 км: для предприятия А – 10 ден. ед., а для предприятия В – 20 ден. ед. Расстояние между предприятиями 300 км. Как территориально должен быть разделен рынок сбыта между двумя предприятиями для того, чтобы расходы потребителя при погрузке изделий и их транспортировке были минимальными?

Обозначим транспортные расходы потребителя при покупке единицы продукции предприятия А: f_А(ден. ед.) и предприятия В: f_В(ден. ед.). Тогда

f_А=p+10S_A и f_B=p+20S_B ,

где S_A и S_B – расстояние от данного потребителя до соответствующего предприятия.

Предположим, что потребитель имеет такое местоположение, что транспортные расходы при покупке изделий любого из предприятий для него одинаковы, т.е.f_A=f_B. Найдем множество таких точек:

p+10S_A=p+20S_B , S_A=2S_B.

Введем оси координат так, чтобы ОХпроходила через пунктыАиВ, начало координат расположим в пунктеА.

Пусть точка М(х,y) определяет положение потребителя, для которого f_A=f_B. Тогда S_A=, S_B=.

x²+y²=4(x-300)²+4y².

После преобразований получим:

(x-400)²+y²=200².

Если потребитель расположен в одной из точек окружности с центром в т. (400;0) и радиусом200км., то его расходы при покупке продукции любого из предприятий одинаковы. Данная окружность определяет границу разделения рынка сбыта между предприятиями. Для потребителей расположенных внутри окружности выгоднее покупать у предприятияВ, снаружи – уА.



 Пусть в момент t=0 началось производство определенного типа машин, которые раньше не производились. Предположим, что их выпуск происходит равномерно по времени, годовой объем продукции составляет 1 млн. ден. ед., а полный срок эксплуатации машин равен 10 годам. Определить стоимость машинного парка (за вычетом суммы износа) на конец t-го года, предполагая, что t[0,10].

Искомую стоимость обозначим через y. Задача состоит в том, чтобы найти y=f(t). Стоимость машинного парка в t-м году без учета износа составляет 10⁶ t. Но фактически стоимость машинного парка меньше вследствие физического и морального износа. Так как машины введены в производство не все сразу, то средний возраст будет . Годовой износ машины равен1/10 ее стоимости. Поэтому в t-м году сумма износа машинного парка

Таким образом, в t-м году фактическая стоимость

y=10⁶t-510⁴t² (это парабола).

Для построения приведем уравнение параболы к виду (t-t₀)²=2p(y-y₀) Для этого выделяется полный квадрат по переменной t и проводятся другие алгебраические преобразования.

y= -510⁴(t²-20t)= -510⁴(t²-20t+100-100);

y= -510⁴(t-10)²+510⁶;

(t-10)²= -210^-5(y-510⁶).

Вершина параболы в т.(10; 510⁶), ветви направлены вниз и одна из них проходит через начало координат (по условию задачи при t=0, y=0). Параметр p=10^-5, следовательно парабола очень узкая.