kornil / ФУБ семестр 1 / p14_18

Тема 1. Теория

Системы линейных уравнений с произвольным количеством уравнений и неизвестных

При решении систем m линейных уравнений с n неизвестными, наряду с матрицей системы

А=

будем рассматривать еще матрицу, полученную из А добавлением столбца свободных членов. Такая матрица называется расширенной матрицей системы и обозначается

.

Метод полного исключения (МПИ) или метод Жордана-Гаусса

Метод полного исключения является универсальным методом решения систем линейных алгебраических уравнений с любым соотношением количества неизвестных и количества уравнений. Он основан на элементарных преобразованиях систем уравнений или, что тоже самое, на элементарных преобразованиях их матриц. Последовательность элементарных преобразований приводит исходную систему уравнений к равносильной (эквивалентной), то есть, имеющей те же решения, что и исходная система.

Идея метода состоит в том, чтобы преобразовать систему в равносильную так, чтобы часть неизвестных ( они выбираются произвольно ) отвечала требованию: сохранялось только в единственном уравнении системы. Эти неизвестные называют базисными. В общем решении системы базисные неизвестные будут выражены через все остальные неизвестные, которые называются свободными.

Целью преобразований системы уравнений является сохранение выбранного произвольно неизвестного только в одном из уравнений и исключения этого неизвестного из всех остальных уравнений. Заметим, что каждое уравнение системы соответствует строке в расширенной матрице системы :

; .

Поэтому любое действие над строками матрицы соответствует такому же действию над уравнениями системы. Отметим, что аналогичные элементарные преобразования возможны и со столбцами матрицы, но при применении МПИ их делать не следует, т.к. действия со столбцами связаны с перенумерацией неизвестных и практически неудобны. В МПИ действуют только со строками расширенной матрицы.

Достаточно использовать два вида элементарных преобразований:

• умножение (деление) уравнения системы (строки расширенной матрицы системы) на любое, не равное нулю число;

• прибавление (вычитание) к одному уравнению системы (строке матрицы) другого ее уравнения (строки), умноженного на любое число.

Если при этих преобразованиях в системе уравнений образуется хотя бы одно уравнение вида: 0x₁+0x₂++0x_n=b; (b0), что соответствует строке в матрице системы вида 0 0  0 b, то система несовместна, так как данное уравнение не удовлетворяется ни при каких значениях неизвестных .

Если же в системе образуется уравнение вида 0x₁+0x₂++0x_n=0, что соответствует нулевой строке в матрице, то такое уравнение можно отбросить, так как оно удовлетворяется при любых значениях неизвестных. Очевидно, если образуется несколько уравнений (строк) с пропорциональными коэффициентами, то можно оставить только одно из них, а остальные отбросить.

Преобразования по методу полного исключения (МПИ) заключаются в том, что в каждой строке матрицы системы выбирается ненулевой базисный коэффициент (стоящий соответственно при базисном неизвестном) и затем с помощью элементарных преобразований добиваются, чтобы в остальных строках матрицы при базисном неизвестном стояли нулевые коэффициенты. Такие действия приводят к тому, что выбранное базисное неизвестное остается только в одном из уравнений системы (соответственно его базисный коэффициент - в одной строке матрицы), а из остальных “исключается”. Для удобства вычислений, если выбранный базисным коэффициент , надо всю строку разделить на этот коэффициент. Тогда базисным коэффициентом будет 1 и, окончательно каждому базисному неизвестному в матрице будет соответствовать столбец, состоящий из одной 1 и остальных нулей.

Если в каждой строке матрицы уже выбран базисный коэффициент и проделаны элементарные преобразования, исключающие соответствующее неизвестное в остальных строках, то преобразование матрицы по МПИ заканчивают.

Рассмотрим решение систем линейных алгебраических уравнений МПИ на примерах. В них матрицы систем для решения записываются в таблицы. Стрелки справа от таблиц показывают действия (элементарные преобразования) над строками матриц. Начало стрелки всегда находится у строки с базисным коэффициентом, а ее конец указывает на строку, к которой прибавляется строка с базисным коэффициентом, умноженная на число, стоящее рядом со стрелкой. Очевидно, что число выбирается так, чтобы при сложении под (над) базисным коэффициентом получались нули.

ПРИМЕР 1.

x1 x2 x3	b
1 2 1 3 -5 3 2 7 -1	4 1 8		Запишем расширенную матрицу в таблицу и выберем в качестве базисного неизвестного х3. Коэффициент при х3 в первой строке равен 1, поэтому оставим х3 в первом уравнении, а из остальных исключим. Для этого первая строка умножается на (–3) и прибавляется ко второй. Затем первая строка прибавляется к третьей.
1 2 1 0 -11 0 3 9 0	4 -11 12	:11 :3	Разделим вторую строку на (-11), а третью на 3. Выберем базисным неизвестным х1, причем его можно оставить только в третьем уравнении, так как в первом уже есть базисное неизвестное х3, а во втором х1 отсутствует.
1 2 1 0 1 0 1 3 0	4 1 4		Для исключения х1 из первого уравнения достаточно умножить третье уравнение на (-1) и прибавить его к первому.
0 -1 1 0 1 0 1 3 0	0 4 0		Выбираем базисным неизвестное х2, оставляем его во втором уравнении.
0 0 1 0 1 0 1 0 0	1 1 1

Преобразования закончены, так как в каждой строке матрицы есть базисный коэффициент. Из последней таблицы, которая соответствует системе уравнений , можно сделать вывод, что система совместна и имеет единственное решение, т.е. определена. Единственное решение системы: .

Сделаем проверку:

ПРИМЕР 2.

x1	x2	x3	x4	b
3 1 0 2	4 0 2 -1	9 7 -6 17	-2 -2 7 -7	-4 12 0 26
0 1 0 0	4 0 2 -1	-12 7 -6 3	4 -2 7 -3	-40 12 0 2
0 1 0 0	0 0 0 1	0 7 0 -3	-8 -2 1 3	-32 12 4 -2
0 1 0 0	0 0 0 1	0 7 0 -3	0 0 1 0	0 20 4 -14

МПИ система приведена к виду:

Преобразования по МПИ закончены, так как в каждом уравнении выделено базисное неизвестное. Из последней таблицы видно, что базисными неизвестными были: х₁, х₂ и х₄ (исключены из всех уравнений системы, кроме одного). Тогда свободным неизвестным является х₃.

Система является совместной и неопределенной. Неопределенность решения системы определяется существованием свободного неизвестного.

Соответственно из второго, четвертого и третьего уравнений получим выражения для базисных неизвестных через свободное и запишем вектор общего решения системы, которая является совместной и неопределенной:

.

Для неопределенных систем выделяют базисное решение, которое может быть получено из общего при условии, что все свободные неизвестные равны нулю : .

Частное решение неопределенной системы получим, придав свободному неизвестному любое значение, например, пусть х₃=1. Тогда . По частному решению делают проверку:

ПРИМЕР 3.

x1	x2	x3	x4	b
5 1 2	0 2 -1	3 -1 2	-3 1 -2	6 3 1
5 5 -2	0 0 1	3 3 -2	-3 -3 2	6 5 -1
5/3 0	0 0	1 0	-1 0	2 -1

Система несовместна, не имеет решений, что очевидно из второй строки последней таблицы. Третью строку нет необходимости вычислять.

Экономические задачи, сводящиеся к системам линейных

уравнений (СЛАУ)

Многие задачи экономического содержания могут быть сведены к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида:

где ; - неизвестные задачи, которые, в силу ее экономического смысла обычно неотрицательны, т.е. .

Примеры составления, решения и анализа результатов экономических задач, сводящихся к системам линейных алгебраических уравнений, даны в разделе "Примеры выполнения обязательного задания".

18