Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
44
Добавлен:
02.02.2015
Размер:
270.34 Кб
Скачать

Тема 1. Теория

Системы линейных уравнений с произвольным количеством уравнений и неизвестных

При решении систем m линейных уравнений с n неизвестными, наряду с матрицей системы

А=

будем рассматривать еще матрицу, полученную из А добавлением столбца свободных членов. Такая матрица называется расширенной матрицей системы и обозначается

.

Метод полного исключения (МПИ) или метод Жордана-Гаусса

Метод полного исключения является универсальным методом решения систем линейных алгебраических уравнений с любым соотношением количества неизвестных и количества уравнений. Он основан на элементарных преобразованиях систем уравнений или, что тоже самое, на элементарных преобразованиях их матриц. Последовательность элементарных преобразований приводит исходную систему уравнений к равносильной (эквивалентной), то есть, имеющей те же решения, что и исходная система.

Идея метода состоит в том, чтобы преобразовать систему в равносильную так, чтобы часть неизвестных ( они выбираются произвольно ) отвечала требованию: сохранялось только в единственном уравнении системы. Эти неизвестные называют базисными. В общем решении системы базисные неизвестные будут выражены через все остальные неизвестные, которые называются свободными.

Целью преобразований системы уравнений является сохранение выбранного произвольно неизвестного только в одном из уравнений и исключения этого неизвестного из всех остальных уравнений. Заметим, что каждое уравнение системы соответствует строке в расширенной матрице системы :

; .

Поэтому любое действие над строками матрицы соответствует такому же действию над уравнениями системы. Отметим, что аналогичные элементарные преобразования возможны и со столбцами матрицы, но при применении МПИ их делать не следует, т.к. действия со столбцами связаны с перенумерацией неизвестных и практически неудобны. В МПИ действуют только со строками расширенной матрицы.

Достаточно использовать два вида элементарных преобразований:

  • умножение (деление) уравнения системы (строки расширенной матрицы системы) на любое, не равное нулю число;

  • прибавление (вычитание) к одному уравнению системы (строке матрицы) другого ее уравнения (строки), умноженного на любое число.

Если при этих преобразованиях в системе уравнений образуется хотя бы одно уравнение вида: 0x1+0x2++0xn=b; (b0), что соответствует строке в матрице системы вида 0 0 0 b, то система несовместна, так как данное уравнение не удовлетворяется ни при каких значениях неизвестных .

Если же в системе образуется уравнение вида 0x1+0x2++0xn=0, что соответствует нулевой строке в матрице, то такое уравнение можно отбросить, так как оно удовлетворяется при любых значениях неизвестных. Очевидно, если образуется несколько уравнений (строк) с пропорциональными коэффициентами, то можно оставить только одно из них, а остальные отбросить.

Преобразования по методу полного исключения (МПИ) заключаются в том, что в каждой строке матрицы системы выбирается ненулевой базисный коэффициент (стоящий соответственно при базисном неизвестном) и затем с помощью элементарных преобразований добиваются, чтобы в остальных строках матрицы при базисном неизвестном стояли нулевые коэффициенты. Такие действия приводят к тому, что выбранное базисное неизвестное остается только в одном из уравнений системы (соответственно его базисный коэффициент - в одной строке матрицы), а из остальных “исключается”. Для удобства вычислений, если выбранный базисным коэффициент , надо всю строку разделить на этот коэффициент. Тогда базисным коэффициентом будет 1 и, окончательно каждому базисному неизвестному в матрице будет соответствовать столбец, состоящий из одной 1 и остальных нулей.

Если в каждой строке матрицы уже выбран базисный коэффициент и проделаны элементарные преобразования, исключающие соответствующее неизвестное в остальных строках, то преобразование матрицы по МПИ заканчивают.

Рассмотрим решение систем линейных алгебраических уравнений МПИ на примерах. В них матрицы систем для решения записываются в таблицы. Стрелки справа от таблиц показывают действия (элементарные преобразования) над строками матриц. Начало стрелки всегда находится у строки с базисным коэффициентом, а ее конец указывает на строку, к которой прибавляется строка с базисным коэффициентом, умноженная на число, стоящее рядом со стрелкой. Очевидно, что число выбирается так, чтобы при сложении под (над) базисным коэффициентом получались нули.

ПРИМЕР 1.

x1 x2 x3

b

1 2 1

3 -5 3

2 7 -1

4

1

8

Запишем расширенную матрицу в таблицу и выберем в качестве базисного неизвестного х3. Коэффициент при х3 в первой строке равен 1, поэтому оставим х3 в первом уравнении, а из остальных исключим. Для этого первая строка умножается на (–3) и прибавляется ко второй. Затем первая строка прибавляется к третьей.

1 2 1

0 -11 0

3 9 0

4

-11

12

:11

:3

Разделим вторую строку на (-11), а третью на 3. Выберем базисным неизвестным х1, причем его можно оставить только в третьем уравнении, так как в первом уже есть базисное неизвестное х3, а во втором х1 отсутствует.

1 2 1

0 1 0

1 3 0

4

1

4

Для исключения х1 из первого уравнения достаточно умножить третье уравнение на (-1) и прибавить его к первому.

0 -1 1

0 1 0

1 3 0

0

4

0

Выбираем базисным неизвестное х2, оставляем его во втором уравнении.

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1

1

1

Преобразования закончены, так как в каждой строке матрицы есть базисный коэффициент. Из последней таблицы, которая соответствует системе уравнений , можно сделать вывод, что система совместна и имеет единственное решение, т.е. определена. Единственное решение системы: .

Сделаем проверку:

ПРИМЕР 2.

x1

x2

x3

x4

b

3

1

0

2

4

0

2

-1

9

7

-6

17

-2

-2

7

-7

-4

12

0

26

0

1

0

0

4

0

2

-1

-12

7

-6

3

4

-2

7

-3

-40

12

0

2

0

1

0

0

0

0

0

1

0

7

0

-3

-8

-2

1

3

-32

12

4

-2

0

1

0

0

0

0

0

1

0

7

0

-3

0

0

1

0

0

20

4

-14

МПИ система приведена к виду:

Преобразования по МПИ закончены, так как в каждом уравнении выделено базисное неизвестное. Из последней таблицы видно, что базисными неизвестными были: х1, х2 и х4 (исключены из всех уравнений системы, кроме одного). Тогда свободным неизвестным является х3.

Система является совместной и неопределенной. Неопределенность решения системы определяется существованием свободного неизвестного.

Соответственно из второго, четвертого и третьего уравнений получим выражения для базисных неизвестных через свободное и запишем вектор общего решения системы, которая является совместной и неопределенной:

.

Для неопределенных систем выделяют базисное решение, которое может быть получено из общего при условии, что все свободные неизвестные равны нулю : .

Частное решение неопределенной системы получим, придав свободному неизвестному любое значение, например, пусть х3=1. Тогда . По частному решению делают проверку:

ПРИМЕР 3.

x1

x2

x3

x4

b

5

1

2

0

2

-1

3

-1

2

-3

1

-2

6

3

1

5

5

-2

0

0

1

3

3

-2

-3

-3

2

6

5

-1

5/3

0

0

0

1

0

-1

0

2

-1

Система несовместна, не имеет решений, что очевидно из второй строки последней таблицы. Третью строку нет необходимости вычислять.

Экономические задачи, сводящиеся к системам линейных

уравнений (СЛАУ)

Многие задачи экономического содержания могут быть сведены к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида:

где ; - неизвестные задачи, которые, в силу ее экономического смысла обычно неотрицательны, т.е. .

Примеры составления, решения и анализа результатов экономических задач, сводящихся к системам линейных алгебраических уравнений, даны в разделе "Примеры выполнения обязательного задания".

18

Соседние файлы в папке ФУБ семестр 1