Векторное пространство и n-мерные векторы.

Множества всех векторов в плоскости (R₂) или в пространстве (R₃), рассмотренные выше, в которых определены линейные операции умножения вектора на число и алгебраического сложения векторов, являются простейшими примерами векторных пространств. Обобщим эти понятия.

 n-мерным вектором называется упорядоченный набор n действительных чисел, записываемых в виде матрицы-строки или столбца.

или .

Если нет специальных оговорок, то n-мерный вектор считается вектором-столбцом.

Понятие n-мерного вектора широко используется в экономике, например, некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором , где - количество товара i-го вида, а соответствующие цены – вектором , где .

Определим линейные операции над векторами как частный случай операций над матрицами (см. тему 1).

 Равенство векторов.

 Алгебраическая сумма векторов.

 Умножение вектора на число. , α - действительное число.

Операции  и  требуют вектора одинаковой размерности. Обобщением этих операций являются аксиомы (положения, не требующие доказательств). Здесь  и  - числовые множители.

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

 Множество векторов с действительными компонентами, для которого определены операции  и , удовлетворяющие аксиомам, называется векторным пространством.

В векторном пространстве вводится понятие метрики, т.е. способ измерять длины и углы на основе введения понятие скалярного произведения. Его определение повторяет то, которое введено в R₂ и R₃ (двумерном и трехмерном пространствах).

 Если - векторы одинаковой размерности, то

(число !) – их скалярное произведение.

Скалярное произведение имеет экономический смысл. Если, например, - вектор объемов различных товаров, а - вектор их цен, то выражает суммарную стоимость этих товаров.

Примем как аксиомы, что скалярное произведение обладает следующими свойствами:

• ;

• ;

• ;

• , если - ненулевой вектор; , если - нулевой вектор.

 Векторное пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным четырем аксиомам, называется евклидовым пространством.

 Длиной (нормой) вектора в евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата:

.

Угол  между векторами определяется по его косинусу:

.

 Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю (аналогично перпендикулярным векторам в R₂ и R₃).

Если длина (норма) вектора равна 1, то это единичный вектор, орт, для которого в R_n принято название ортонормированный вектор.

Размерность и базис векторного пространства. Разложение векторов по базису

Введем несколько новых понятий, на которых базируются практически все остальные понятия векторной алгебры.

 Линейной комбинацией векторов называется вектор , равный сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа .

.

 Векторы называются линейно независимыми, если их линейная комбинация равна нулевому вектору () только при всех .

 Векторы называются линейно зависимыми если их линейная комбинация равна нулевому вектору хотя бы при одном числе .

Примером линейно зависимых векторов в R₂ (плоскость) являются коллинеарные векторы. Действительно, если векторы коллинеарные, то . - линейная комбинация равна , но   0, следовательно, по определению векторы линейно зависимые. Два неколлинеарных вектора в R₂ линейно независимы.

Аналогично в R₃ три компланарных вектора линейно зависимы, три некомпланарных вектора - линейно независимы.

Справедливы также следующие утверждения:

• один вектор всегда линейно независим;

• если n векторов линейно зависимы, то хотя бы один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных, и наоборот.

Пусть - линейно зависимы. Тогда по определению: , тогда и только тогда, когда хотя бы одно число _m  0; . Пусть для определенности ₁=10. Тогда ; или , т.е. вектор представлен в виде линейной комбинации остальных векторов.

Линейное пространство R называется n-мерным (R_n), если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из (n+1) векторов уже являются зависимыми.

 Размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов.

 Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства называется базисом.

 Теорема. Любой вектор пространства R_n можно представить и притом единственным образом в виде линейной комбинации векторов базиса, или, иными словами, разложить по базису. Без доказательств ?

Пусть - базисные векторы, - свободный, произвольный вектор. По теореме:

.

 Это равенство называется разложением вектора по базису , а - координатами вектора в данном базисе.

Самым распространенным и удобным для решения различных задач является ортонормированный базис: векторы этого базиса попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице.

Например: (все векторы имеют n компонент).

Эти векторы линейно независимы, так как ни один из них нельзя представить в виде линейной комбинации остальных. Нетрудно убедиться, что в таком базисе (ортогональны), если i  j и (длина равна 1), если i = j.

 Теорема. Во всяком евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Без доказательств ?

Рассмотрим задачу выделения какого-либо базиса в векторном пространстве и разложения по нему свободных векторов, не входящих в базис.

Пусть задан набор векторов . Требуется выделить какой-либо базис и разложить свободные векторы по этому базису. Составим линейную комбинацию заданных векторов и приравняем ее к .

.

Каждый вектор задан набором чисел:

.

В общем случае m  n.

.

Здесь записана однородная СЛАУ в векторном виде, неизвестными являются числа . Эту систему следует решить методом полного исключения (тема 1). Особенность системы состоит в том, что она однородная (правая часть нулевая) и поэтому при решении возможны только два варианта:

• система определена, имеет единственное нулевое решение. . Тогда, по определению, векторы линейно независимы и образуют базис. Свободных векторов в системе нет.

• система неопределена, неизвестные разделяются на базисные и свободные. Базисным неизвестным будут соответствовать базисные векторы, свободным – свободные.

При решении системы МПИ базис выделяется сразу в ортонормированном виде. Фактически происходит преобразование координат векторов, при которых некоторые векторы (базисные) приобретают координаты, состоящие из одной единицы и остальных нулей, а остальные автоматически приобретают координаты, соответствующие выделенному базису.

Полностью пример выделения базиса приведен в разделе "Примеры выполнения обязательного домашнего задания".

51