5.2. Эквивалентная система в статически неопределимых задачах

Может показаться, что понятие мешающих связей достаточно очевидно и не заслуживает стольких слов (оно практически используется всегда, только, может быть, без отчетливой формулировки). Эти слова были подготовкой к тому, чтобы убедить читателя не менять техники расчета при переходе к статически неопределимым системам. Принимаемое обычно требование кинематической неизменяемости эквивалентной системы в методе сил - не необходимость, а просто традиция. Гораздо удобнее для получения эквивалентной задачи снимать не "лишние", а мешающие связи. Вопрос о степени статической неопределимости откладывается при этом до того момента, когда это будет действительно необходимо (в задаче на рис.5.8 этого не понадобилось вообще; можно считать ее или не считать статически неопределимой).

Итак, по схеме, описанной в предыдущем пункте, выполняем предварительный этап метода сечений:

• отбрасываем мешающие связи,

• заменяем их реакциями,

• производим кинематический анализ полученного механизма,

• записываем соответствующие условия равновесия. Далее возможны следующие ситуации:

а). Реакции мешающих связей определяются из условий равновесия однозначно (выражаются через параметры внешней нагрузки).

б). Для их определения не хватает еще k условий. Тогда вводят k произвольных величин x₁... х_k, называемых неизвестными метода сил. Реакции связей выражают через параметры внешней нагрузки и неизвестные x_i. Число неизвестных k будем называть степенью статической неопределимости. Оно не всегда соответствует принятому в учебниках термину.

в). Условия равновесия не выполняются ни при каких значениях реакций мешающих связей; система уравнений равновесия не имеет решения. Это означает, что мы имеем дело с механизмом, не находящимся в равновесии при данной нагрузке. Это - динамическая задача.

г). Условия равновесия выполняются только при данной системе внешних сил. Это означает, что мы имеем дело с механизмом, находящимся в равновесии.

д). Условия равновесия выполняются только при данной системе внешних сил, но для определения реакции не хватает k условий. Это означает, что мы имеем дело со статически неопределимым (степень неопределимости k) механизмом, находящимся в равновесии.

Случай а) рассматривался в предыдущем пункте (см., например, задачу на рис.5.8).

Случай б) возникает в той же раме, если ее нагрузить симметрично (рис.5.9). Здесь единственное, симметричное условие равновесия - сумма моментов относительно точки С - включает две неизвестные М_С = М+2Вl - 2Аl = 0 и имеет бесконечное множество решений, например, А =Х₁, B=X₁ - М/(2l), или А=M/l+Х₁ В = M/(2l)+Х₁.

Возможны многие другие решения, каждое из которых должно включать некоторую (свою) произвольную переменную X₁.

Ситуация в) возникает, например, в ферме, приведенной на рис.5.10 (в ферме девять, а не двенадцать стержней.). С учетом симметрии и рекомендации для ферм (разрезать в "Э" все стержни) получаем "Э" в виде пары фрагментов (рис.5.10 б), повторяющихся трижды. Ни при каком значении силы Р (кроме Р= 0) равновесие обоих фрагментов не достижимо, что следует из двух условий равновесия:

N₁+N₂=0, (5.1)

N₁+N₂+P=0. (5.2)

Таким образом, данная ферма представляет собой механизм (оставим читателю его кинематический анализ: определите относительное движение стержней). Этот механизм статически неопределим. Это, в частности, следует из того, что при другой нагрузке, с более высокой степенью симметрии (рис.5.10 в) имеется единственное условие равновесия (5.2). Его решение может иметь, например, вид

N₁ = X₁ N₂ = P - X₁ - (случай д).

Случай г) достаточно стандартен (см., например, рис.5.2, где стержень имеет возможность перемещаться горизонтально, или рис.2.9, где внешних связей нет и конструкция может двигаться как жесткое тело).