8.2. Как найти критическую силу?

Рассмотренная ситуация подсказывает два пути решения задачи. Один - энергетический, он опирается на равенство потенциальных энергий П в смежных состояниях (рис.8.3 б). Другой называют обычно методом Эйлера. Он реализует замеченную Эйлером особенность состояния G = G_*: только при такой нагрузке изогнутый стержень находится в равновесии (сравните состояния f ≠ 0 - точка А - в трех вариантах нагрузки на рис.8.3). Достаточно записать условие равновесия для смежного состояния системы, чтобы получить значение G_*.

Пример 1 (рис.8.4) [4]. Требуется исследовать устойчивость системы, состоящей из абсолютно жесткого стержня длиной l и связанной с ним пружины жёсткости с. На свободный конец стержня действует сила Р. При переходе системы в смежное положение сила не меняет своего направления.

Решение. Используем вначале энергетический способ: найдем зависимость полной потенциальной энергии системы от угла поворота стержня φ:

.

Здесь первое слагаемое - потенциальная энергия деформации, запасаемая пружиной при повороте стержня на угол φ, второе - потенциальная энергия «груза» Р, если за ее нулевой уровень принять состояние при φ = π/2. Удобно использовать относительные параметры:

, (8.1)

где П' - относительная потенциальная энергия П/с, Р' - относительная нагрузка Р∙l/с. График функции П'(φ) (8.1) представлен на рис.8.5. Кривые 1, 2 и 3 отвечают значениям Р', равным 1, 1,09 и 1,2. При Р' = 1 (кривая 1) равновесие отвечает значению φ = 0; это положение равновесия устойчиво. При Р' > 1 равновесными являются два состояния, причем состояние φ = 0 неустойчиво, а отклоненное - минимум П' смещается по оси φ на рис.8.5 вправо - устойчиво. Таким образом, критическое значение Р' равно единице, соответственно, величина Р_* равна отношению с/1.

Методом Эйлера эта задача решается чуть проще. Условие равновесия для стержня, повернутого на угол φ (сумма моментов сил, действующих на жесткий стержень, относительно точки А - рис.8.4 - должна быть равна нулю) имеет вид

.

Отсюда, естественно, получаем то же значение критической силы Р, при малом угле φ (sin φ ≈ φ).

Названные методы определения критической нагрузки можно применять и для систем, не подверженных сжатию.

Пример 2 (рис.8.6) [5]. По тонкостенной трубке (толщина t, диаметр D) протекает жидкость плотности р. Требуется определить критическое значение скорости w₀ при котором возможна смежная (искривленная) форма равновесия трубки.

Р ешение. Применим метод Эйлера. Рассмотрим искривленное состояние трубки (рис.8.7). При протекании жидкости по изогнутому участку трубки, кривизна которого равна χ = 1/R (R - радиус кривизны), на элемент длины трубки dz со стороны жидкости действует инерционная сила

, (8.2)

где а - вектор ускорения части жидкости массой dm = ρ∙S∙dz, (S - площадь сечения потока). Полагая (при малом искривлении), что линейная скорость потока остается постоянной, найдем, что ускорение направлено перпендикулярно оси трубки, а величина его a=w²/R=χ∙w²- Отсюда находится интенсивность распределенной по длине трубки центробежной силы

.

Условие равновесия q_i = d²M/dz² с учетом закона Гука χ = М/(ЕJ) примет вид

, (8.3)

где v - прогиб трубки, штрихом обозначена производная по длине, k² = ρ∙S∙w²/(E∙J).

Решение уравнения (8.3) (при граничных условиях z = 0 и l: v = 0, v" = 0) имеет вид

. - (8.4)

Отсюда найдем, что критическое значение скорости, при котором изогнутая трубка (А ≠ 0) так же находится в равновесии, как и прямая (А = 0), равна

. . (8.5)