1.4. Примеры использования свойств симметрии

В теоретическом анализе и при решении конкретных задач сопротивления материалов свойства симметрии используются весьма широко, хотя и не всегда явно. Например, при получении выражений обобщенного закона Гука не принято обсуждать вопрос, почему при одноосном напряженном состоянии главные оси деформаций совпадают с главными осями напряжений, почему при нагружении чистого сдвига не возникает линейных деформаций в направлении сдвига и в поперечном направлении, или не возникает сдвигов в других направлениях, Может создаться впечатление (а иногда в учебнике об этом говорится прямо), что таковы экспериментальные данные. Однако нетрудно показать, что это - следствие принципов прямой и косой симметрии - и потому справедливо только в случае изотропного материала.

Гипотеза плоских сечений при чистом изгибе и растяжении следует из закона плоских сечений (для бесконечного прямого стержня постоянного поперечного сечения), который строго доказывается из симметрии задачи. а) зеркальной - относительно произвольного поперечного сечения и б) сдвиговой, упомянутой выше. Отсюда же следует отсутствие касательных напряжений в поперечном сечении, соответствующих сдвигов, напряжений в продольных сечениях. И, очевидно, эти свойства сохраняются за пределами упругости.

При кручении стержня круглого поперечного сечения (цилиндр, труба) обнаруживается пять видов симметрии, которые определяют поле тензора деформации в трубе с точностью до одного множителя:

а) Осевая симметрия относительно продольной оси стержня, кратности к=∞ (т.е. поворот на произвольный угол не меняет ситуации). Значит, напряжения и деформации не зависят от угловой координаты.

б) Осевая симметрия относительно поперечной оси, кратности к=2. Отсюда следует прямолинейность диаметров, плоскостность поперечных сечений, отсутствие радиальных касательных напряжений в поперечных и продольных (диаметральных) сечениях и соответствующих сдвигов.

в) Сдвиговая симметрия (вдоль оси стержня) - неизменность параметров вдоль оси, отсутствие окружных нормальных напряжений.

г) Зеркальная косая симметрия относительно продольного сечения - отсутствие нормальных продольных и радиальных напряжений.

д) Зеркальная косая симметрия относительно поперечного сечения (по оси стержня) - отсутствие окружных нормальных напряжений и соответствующих деформаций.

В связи с этой задачей полезно отметить особенность зеркального отражения вектора момента. Последний представляет по определению результат векторного произведения вектора плеча на вектор силы. В определении же векторного произведения входит несимметрия относительно того, в какой системе координат (правой или левой) последнее определяется. Но при зеркальном отражении правая и левая системы координат меняются местами. Поэтому при отражении вектора момента к обычному отражению в зеркале стрелки (если она параллельна зеркалу, то ее направление не меняется, если перпендикулярна - то меняется на обратное) необходимо добавить замену направления на обратное (рис. 1.5 а, векторы а, b, с, после отражения относительно плоскости А переходят в a', b', с'). На рис. 1.5 б показан случай кручения прямоугольного стержня, Т — вектор крутящего момента. Если не учитывать отмеченную особенность, то данный вид нагружения покажется зеркально симметричным. В действительности здесь симметрия косая, а поперечное сечение оказывается неплоским.

Отметим любопытный случай неявного использования свойств симметрии, который представляют статически неопределимые плоские рамы (плоскость, в которой лежит осевая линия рамы, обозначим А). Если ось симметрии поперечного сечения такой рамы лежит в плоскости А, то рама оказывается зеркально симметричной относительно этой плоскости. Если нагрузка тоже симметрична (все силы и пары сил лежат в плоскости А), то задача зеркально симметрична относительно А и из шести внутренних силовых факторов в сечении три («из плоскости») равны нулю по условиям симметрии.

Если силы перпендикулярны плоскости А (задачу при этом иногда называют плоско-пространственной), то задача оказывается зеркально кососимметричной и, соответственно, равны нулю внутренние силовые факторы, лежащие в плоскости рамы.

Так и принято решать задачу, не задумываясь о причинах. Однако в задаче, показанной на рис. 1.6, поперечное сечение (уголок) несимметрично относительно плоскости А и в сечениях следует рассматривать все шесть внутренних силовых факторов (хотя с учетом другой симметрии степень статической неопределимости в этой задаче равна только трём.

Ситуацию несколько изменяет тот факт, что на деформационные свойства рамы влияет не форма поперечного сечения, а его геометрические характеристики. Так, в случае, приведенном на рис. 1.7 (поперечное сечение - равносторонний или даже равнобедренный треугольник), симметрия относительно плоскости А отсутствует, но главные оси сечений лежат в плоскости А (или ей перпендикулярны), и рама работает подобно симметричной относительно А. Эту задачу можно также отнести к группе, выделенной в следующем параграфе.