Раздел 2. Избранные задачи

В этом разделе собраны задачи, не объединенные общей тематикой. Некото­рые из них ранее давались на олимпиадах ЮУрГУ и других вузов РФ, некоторые разработаны авторами в процессе подготовки пособия. Решения задач не приво­дятся. Номера рисунков соответствуют номерам задач.

Если в задаче просят найти максимальные напряжения, то хорошим тоном считается показать эпюр^ы - силовых факторов и напряжений, чтобы пояснить ответ.

Задачи

1. Найти величину момента My, выразив его в долях от М, при котором балка будет изгибаться в вертикальной плоскости.

2. Стержень прямоугольного поперечного сечения нагревается равномерно на AT -Ю0°С. Определить вертикальное перемещение сечения, расположенного на оси симметрии. Дано: h=2b=50 мм, 1-1 м, Е=2-10⁵ МПа, а= 12 -КГ⁶1/град.

3. Стержень прямоугольного поперечного сечения hxb, защемленный с одной стороны и опирающийся на пружину жесткости С„= 3EI/1³ с другой, нагружен силой Р. Определить максимальное напряжение.

4. Конструкция, представленная на рис.4, нагружена силами Р=10 Ш. Опре­ делить диаметр заклепок, если [т]а,= 100 МПа.

5. Стержень треугольного поперечного сечения нагружен силой Р, линия действия которой проходит через центр тяжести торцевого сечения. Доказать, что максимальное нормальное напряжение, возникающее в стержне, определяется из выражения ,_m<7 =Ply_maJIx.

6. Ферма изготовлена из стержней площадью S. Определить работу силы Р, полагая, что сжатые элементы устойчивости не теряют.

.7. Стержень, спаянный из трех полос (/ - сталь, 2 - медь), нагрет до температуры Т. Найти напряжения, если ai=0.7a2=a₀, Ej^l.SE^Eo.

8. Ферма, выполненная из элементов площадью S, нагружена силой Р. Определить угол поворота абсолютно жесткого стержня АВ.

Рис.7 Рис.8

9. Балка длиной /, жесткостью EI опирается на податливые опоры. Жест-. кость левой опоры С_Л=5ЕШ, правой C„-10El/f. Найти поворот сечения А относительно В. .

10. Балка нагружена распределенной нагрузкой интенсивности q. Найти максимальное напряжение.

П. Найти внутренние силовые факторы.

12. Найти максимальное вертикальное перемещение.

13. Концы стержня, выполненного из различных идеально пластических материалов (о? =2of -arj), приварены к жестким плитам. Найти величину предельной нагрузки. „

14. Длина пружины, имеющей жесткость C=2EI/f, на А больше расстояния между балками,- Найти внутренние силы, возникающие при сборке конструкции.

15. Нагрузка перпендикулярна плоскости рамы. Найти ВСФ, считая G-0.4E.

16. Стержень сжат силами, приложенными по торцам. С помощью тензодат-чиков I и 2 измерены продольные деформации наружных слоев г>= - 3-JCT⁴ и е₂"- 9-1СН, Найти радиус кривизны искривленной оси стержня, если И=60мм.

17. Стержень нагружен только собственным весом. Построить эпюру переме­щений.

18. Напряженное сос­тояние в теле характеризу­ется тензором напряжении

Г-2 3 О 3 -4 О 0 0 0

19. Найти диаметр стержня BD, если он изготовлен из материала с допускае-мым напряжением [сг]=100 МПа. Вес стержней АВ, ВС, CD и DA одинаков и равен Q=15J Ш. Стержень BD считать невесомым.

20. Используя принцип возможных перемещений, найти усилие в стержне /фермы.

под действием общей сжимающей силы), но шпилька состоит из двух участков разной жестко­сти с_в =E2S/(2l)=*ES/l'- верхняя часть и с_н -3ESfl - нижняя. Эти две части работают последо-

между балками,- Найти внутренние силы, возникающие при сборке конструкции.

вательно: сила в них одинакова, а удлинения (укорочения) суммируются. Значит, суммируется и податливость шпильки:

A_m=l/c_m-=X_B+X„='l/(3ES)+l/(ES)^4U(3ES), _Cu=3ES/(41).

Жесткость трубки cf^ES/ftl); суммарная жесткость конструкции c~13ES/(12l). Следовательно, осадка всей конструкции происходит на величину А=Р/с = =J2Pl/(J3ES). Зная осадку и жесткости элементов, найдем распределение усилий Nr — - с_т А= - 4Р/13, N_m= '-■ с_шА= - 9Р/13. Наибольшие напряжения, как нетрудно видеть, в верхней части шпильки.

15. Нагрузка перпендикулярна плоскости рамы. Найти ВСФ, считая G-0.4E.

16. Стержень сжат силами, приложенными по торцам. С помощью тензодат-чиков I и 2 измерены продольные деформации наружных слоев г>= - 3-JCT⁴ и е₂"- 9-1СН, Найти радиус кривизны искривленной оси стержня, если И=60мм.

17. Стержень нагружен только собственным весом. Построить эпюру переме­щений.

18. Напряженное сос­тояние в теле характеризу­ется тензором напряжении

Г-2 3 О 3 -4 О 0 0 0

изменился заштрихованной площади?

19. Найти диаметр стержня BD, если он изготовлен из материала с допускае-мым напряжением [сг]=100 МПа. Вес стержней АВ, ВС, CD и DA одинаков и равен Q=15J Ш. Стержень BD считать невесомым.

20. Используя принцип возможных перемещений, найти усилие в стержне / фермы.

21. Стержни соединены между собой шарнирно в точке А. Определить усилие в шарнире.

22. Два вала АВ и ВС соприкасаются в сечении В. После нагрева вала ВС на величину AT к валу АВ прикладывается момент М. Определить угол поворота сечения В, при котором валы будут проскальзывать друг относительно друга.

23. Абсолютно жесткий элемент АВ висят на пятнадцати одинаковых стержнях. Определить наибольшее напряжение.

24. Длина стержня равна /. Найти перемещение точки крепления пружины к стержню, если С„-2ЕЬМ. Считать, что пружина воспринимает только продоль­ ное усилие.

25. Найти критическое значение силы Р. _ш26. Стержень нагревается равномерно по высоте

и неравномерно по длине (T(z)=To z /I ). Определить напряжения, возникающие в стержне, а также переме­щение среднего сечения.

27. Какой должна быть жесткость средней опоры, чтобы прочность балки была максимальной?

28. Определить вертикальное перемещение среднего сечения балки.

29. Рама / вставле­ на без зазора в раму 2. Определить относитель­ ное перемещение сече­ ний А и С, если рама / нагрета на AT. Жестко-¹ сти поперечных сечений рам одинаковы.

30. 

    

    Элементы 1, 2 рамы подвергаются тем­пературному воздейст­вию. Определить допус­тимый перепад темпера­ туры по высоте сечения, если /=/ м, а=20 мм, а=12-10 1/град, [&J-90 МПа, Е=2- 10^sМПа.

31. Полубесконечная полоса, лежащая на абсолютно жестком основании, подвергается воздействию температуры, изменяющейся по линейному закону. Определить максимальное вертикальное перемещение (h-Змм, а=12-10 1/град, Т₀~ 100 С, Е=2-10⁵МПа, у=80 кН/м - удельный вес материала).

32. Две одинаковые консольные балки связаны на конце шарниром и нагру­жены силой Р. Вычислить потенциальную энергию, накопленную системой.

33. При какой жесткости горизонтальной опоры В несущая способность рамы максимальна?

Пластинка прибора АВ используется для замыкания контакта D при нагревании ее с перепадом температуры АТ=50 С. Определить напряжения, возникающие в пластинке. Известно: 1=0.1 м, а=12-1С> 1/град, h=2 mm, b=5 мм, А=0.1мм,Е=2-10⁵МПа.

35. Балка склеена из двух стержней квадратного сечения, предел прочности материала которых 100 МПа, 1=20а. Какой предел прочности должен иметь клей, чтобы конструкция была равнопрочной?

35. Определить относительное перемещение точек рамы А и В.

35. Найти внутренние силовые факторы.

38. Стержни фермы имеют одинаковую площадь поперечного сечения. Материал идеально пластичен. Определить предельную величину параметра нагрузки.

39. Две пластинчатые пружины установлены без зазора (рис. а). Определить положение линии контакта и величину силы взаимодействия между пружинами при опускании правой опоры на величину А (рис.б).

40. Подсчитать работу силы Р.

41. Определить угол поворота среднего сечения, если жесткость балки EI, a зазор А=Р?/(8Е1).

42. Найти работу силы Р к моменту касания балками основания АВ.

43. Груз весом / кН висит не трех нитях диаметром d=2 мм. Длины нитей: 1_а=9.99м, 1ъ—10м, 1_с-10.00бм. Определить напряжения в нитях."

Стержень С оказался длиннее чертежного размера на величину АНайдите поворот» стержней А я В после сборки.

45. При нагреве выше Т, стойка изогнута. Как выглядит эгаора изгибающих моментов?

46. Рама равномерно нагрета. Как сместить опоры, чтобы напряжения отсутствовали?У кажите все возможные варианты таких смещений опор.

47. Рама нагружена распределенной нагрузкой. Определите изменения углов аяД

48. Стержень ЛЯ охладили на 7*. Найдите тепловые напряжения.

49. Вычислите потенциальную энер- . _Р\ гяю деформации. n ■. L_y