М ИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

539.3/,6(07)

Н553

А.С. Несмеянов, О.С. Садаков

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ.

НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ

И ПОДХОДЫ К ИХ РЕШЕНИЮ

Учебное пособие

Челябинск

2001

Министерство образования Российской Федерации

Южно-Уральский государственный университет

Кафедра прикладной механики, динамики и прочности машин

539.3/.6(07)

Н553

А.С. Несмеянов, О.С. Садаков

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ.

НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ

И ПОДХОДЫ К ИХ РЕШЕНИЮ

Учебное пособие

2-е изд., перераб. и дополненное

Челябинск

Издательство ЮУрГУ .

2001

УДК 539.3/.6(075.8)

Несмеянов А.С., Садаков О.С. Сопротивление материалов. Нестандартные задачи и подходы к их решению: Учебное пособие. - 2-е изд., перераб. и доп. -Челябинск: Изд. ЮУрГУ, 2001. -96 с.

В пособии напоминаются теоретические основы и основные методы решения задач сопротивления материалов. Особое внимание уделено задачам, решение которых допускает (иногда требует) нетривиальный подход. Описаны также методы, разработанные авторами. Методы иллюстрируются примерами решений нестандартных олимпиадных задач.

Пособие предназначено студентам, изучающим сопротивление материалов, а также инженерам, пополняющим образование, и преподавателям, в частности, при проведении олимпиад.

Ил. 239, список лит. - 7 назв.

Одобрено учебно-методической комиссией факультета прикладной мате­матики и физики.

Рецензенты: ИванкягВ:Х?, Шбин А.В.

Isbn з-еэе-02049-в

© Издтательство ЮУрГУ, 2001.

© A.С Несмеянов, О.С. Садаков, 2001.

ВВЕДЕНИЕ

Значение курса сопротивления материалов в подготовке инженеров хорошо известно. Известно также, что в практике прочниста чаще всего встречаются нестандартные задачи, решение которых требует несколько более глубокого понимания теории, чем то, которого удается достичь в обычном процессе обучения. Об этом свидетельствуют и результаты олимпиад, где предлагаются нестандартные задачи.

Кафедрой ПМиДПМ ЮУрГУ накоплен определенный опыт несколько расширенной (в порядке факультатива) подготовки студентов. Подбор специальных задач, их обсуждение на семинарах кафедры, работа комиссии по подготовке олимпиад, работа со студентами способствовали расширению кругозора и развитию творческого подхода к решению задач. Студенты Южно-Уральского государственного университета традиционно показывают хорошие результаты на олимпиадах страны. .

Впервые они принимали участие в олимпиаде в 1966 году (в рамках викторины "Знаешь ли ты сопротивление материалов?", проводимой в МВТУ кафедрой "Сопротивление материалов"). С тех пор кафедра прикладной механики, динамики и прочности машин ЮУрГУ ежегодно проводит по два тура очной институтской олимпиады, с 1975 года участвует во Всероссийских и Всесоюзных олимпиадах "Студент и научно-технический прогресс", а с 1993 г. — в олимпиадах, проводимых в Российской федерации. В 1975году команда заняла 3-е место в Западно-Сибирской зоне (г. Омск), в 1977 г. студент ЮУрГУ Бакалинский А. занял в личном зачете 3-е место; с 1979 г. студенты нашего университета часто занимали первые места во Всероссийских олимпиадах: Швецов А. (1979 г.), Шамраков Э. (1981 г.), Чернявский А. (1982 г.), Либерман В. (1983 г.), Потапов А. (1984 г.), Абызов А. (1985 г.), Баранов С. (1987 г.), Сакулин А. (1988 г.), Лобанов О. (1989 г.), Слива О. (1990 г.), Слива О. (1993 г.), Терешин Д. (1994 г.). Гун А. занял в 1996 г. 3-е место.

На Всесоюзном уровне студенты ЮУрГУ выступали довольно успешно: Абызов А. (1985 г.) - 3-е место, Баранов С. (1987 г.) и Лобанов О. (1989 г.) - 1-е места, Слива О. (1990 г.) - 3-е место, Лобанов О. (1991 г.) - 1-е место: В последнее десятилетие проводятся олимпиады стран СНГ, в которых наши студенты выступали также удачно: Слива О. (1993 г.) - 1-е место, Соколов В. (1997 г.) - 3-место, Борозенец А. (1998 г.) - 7-е место, Савиных А. (2000 г.) - 3-е место, Форенталь М. и Перевалов В. (2001 г.) - поделили два вторых места.

При подготовке студентов к олимпиадам на кафедре работает семинар по решению нестандартных задач. Используются методические разработки MГТУ, ГПИ и других вузов. В настоящее время накоплено значительное количество новых олимпиадных задач, разработанных сотрудниками ЮУрГУ, а также решений известных задач нетрадиционными методами. В предлагаемом пособии обобщаются результаты этой деятельности кафедры ПМиДПМ ЮУрГУ.

В пособии выделены девять наиболее актуальных теоретических разделов.

В каждом дается краткий обзор основных идей теории, иллюстрированный примерами. Приведены решения некоторых задач нетривиальными методами, а также собраны задачи, представляющие, на наш взгляд, наибольший методический интерес. Полагаем, что данное пособие окажется полезным не только студентам, но и преподавателям и, возможно, профессиональным расчетчикам.

Авторы будут благодарны читателям за любые замечания и предложения. Их можно направить по адресу: 454080, г.Челябинск, проспект им. В.И.Ленина, 76, ЮУрГУ, кафедра "Прикладная механика, динамика и прочность машин" или по электронной почте - sadakov@sopro.susu.ac.ru.

Раздел 1. Методы решения задач

Основы механики и методы сопротивления материалов, используемые для решения задач прочности конструкций, излагаются в соответствующих учебниках и мы полагаем, что читатели знакомы с ними. Однако для практического применения методов такое знакомство часто оказывается недостаточным; это обнаруживается при решении нетиповых задач. Поэтому мы включили небольшой теоретический раздел, который, не повторяя учебников, выделяет некоторые важные особенности известных методов и в ряде случаев несколько выходит за рамки обычных курсов сопротивления материалов. Приведенные здесь тематические разделы поясняются примерами.

1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВОЙСТВ СИММЕТРИИ

Элементы большинства конструкций обладают теми или иными свойствами симметрии; эти свойства существенно влияют на результаты расчетов. Роль симметрии часто (даже в учебниках) недооценивают, хотя использование ее свойств иногда в несколько раз сокращает трудоемкость расчетов. Поэтому обзор методов решения задач мы начинаем с этой темы.

1.1. Симметричные конструкции

Видов симметрии довольно много; мы будем говорить лишь о трех:

• зеркальная,

• осевая (кратности k:),

• сдвиговая (с шагом h).

Конструкция зеркально симметрична относительно плоскости А, если ее одна половина, отражаясь в плоскости А как в зеркале, совпадает с другой (рис. 1.1).

Такое отражение (мысленную замену местами половин конструкции) будем называть движением симметрии.

При осевой симметрии относительно оси t (см., например, рис. 1.2) кратности k ≠ 1 движением симметрии является поворот всей конструкции вокруг оси t на угол 2π/k (симметрия на рис. 1.2 отвечает кратности к = 3). Если конструкция при таком движении совпадает со своим исходным положением, то она обладает этим свойством симметрии. Симметрию кратности k = 2 обычно называют просто осевой симметрией.

В случае совпадения конструкции со своим исходным положением при сдвиге в направлении t на величину h система обладает сдвиговой симметрией (параметры симметрии: t, h). Например, бесконечный прямой стержень постоянного поперечного cечения симметричен относительно сдвига вдоль своей оси на произвольную величину h.

Возможно, следует уточнить: в симметричной конструкции в каждой паре (тройке и т.д.) симметричных точек механические свойства должны также совпадать (а в случае векторных свойств - быть симметричными, то есть векторы должны совпадать при движении симметрии).

1.2. Воздействие на конструкцию

Воздействие на симметричную конструкцию может быть симметричным, кососимметричным или несимметричным. Симметричное воздействие не изменяется при движении симметрии (когда вместе с конструкцией движутся нагрузки, температуры и другие виды воздействия). Кососимметричное при движении симметрии меняет знак. Если воздействие асимметрично (ни симметрично, ни кососимметрично), то его всегда можно представить в виде суперпозиции симметричного и кососимметричного. На рис. 1.1 для примера показана кососимметричная нагрузка, на рис. 1.2 - симметричная. Опоры на рис. 1.1, 1.2 не показаны (чтобы не затемнять рисунки); они должны отвечать симметрии конструкции.

Заметим: кососимметричным может быть только воздействие, но не конструкция. Анализ симметрии нагрузки на несимметричную конструкцию не имеет смысла.