Методички для олимпийцев / Методика решения нест

1. Геометрические характеристики поперечных сечения брусьев

1.1. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей

1.1.1. Геометрические характеристики поперечных сечений брусьев, вычисленные относительно главных центральных осей, входят в расчетные формулы для определения напряжений и перемещений в брусьях. Без знания этих характеристик невозможно оценить прочность жёсткость и устойчивость брусьев.

Между моментами инерции поперечных сечений относительно центральных осей x 0 , y 0 , параллельных им осей x, у и наклонённых к последним под углом α осей x 1 , y 1 (рис.1.1, а) существуют следующие зависимости:

следует из определения осевого момента инерции ( J x y 2 d A ) и рис.1.2, а.

A

Задача 1.3. Для сечений, указанных на рис.1.3, б-г, вычислить момент инерции относительно оси x.

2

1.2.4. Если главные моменты инерции относительно двух осей, проходящих через некоторую точку сечения, равны, то все оси, проведенные через эту точку, являются главными и моменты инерции относительно их равны. Доказательство теоремы читатель легко получит из выражений (1.2), полагая, что оси х, у - главные и

Дополнительно исследовать последний случай (рис.1.10, г), когда Jxy = 0.

Указание. Через искомую точку 0 провести главные оси u, v, параллельные исходным осям х, у. По формулам (I.I) записать выражения для Jи, Jv, Juv. Координаты искомых точек (а; с) определяются из двух условий: Juv = 0 и Ju = Jv.

4

1.2.5. Если относительно произвольных ортогональных осей моменты инерции равны, то главные оси проходят через начало координат под углом 45° к исходным осям. Доказательство очевидно из формулы (1.3, а).

сторонам, если разность моментов инерции относительно главных осей равна 2 5b 4 .

в) Определить, при каком n максимальный момент инерции относительно оси, проходящей через точку 0 (рис.1.11. г), вычисляется по формуле Jv = Jx +│Jxy│.

г) В равнобедренном треугольнике (рис.1.11, д) определить высоту и разность моментов инерции относительно главных осей u, v, расположенных под углом 45°к осям х, у.

Указание. При решении задач воспользоваться формулами (1.3, а), и (1.3, б).

1.3 Определение осевых моментов инерции сечений, имеющих центральную симметрию

Тогда очевидно, что полярный момент заданной фигуры равен

5

2. Построение эпюр внутренних усилий

Данный раздел достаточно подробно рассматривается в традиционном курсе на всех специальностях. По той причине остановимся лишь на некоторых особенностях построения эпюр, которым не уделяется должного внимания на занятиях из-за лимита времени.

Отметим, например, что на практике нередко применяют защемленные подвижные опоры, в которых осуществляется линейное перемещение в горизонтальном или вертикальном направлениях - опоры В и С на рис.2.2, а, а также в обоих направлениях одновременно - опора Л на рис.2.2, б; реакции, возникающие в этих опорах, наказаны на рис.2.2.

Наличие промежуточных шарниров в конструкциях дает возможность составить дополнительные уравнения равновесия для стержней, расположенных с люфой стороны от шарниров.

Дифференциальные зависимости при изгибе:

- позволяют но только контролировать правильность построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов, но и непосредственно получить выражения для Q и М по участках, где интенсивность распределенной нагрузки меняется по сложному закону.

6

При нагружеиии бруса распределенной моментной нагрузкой интенсивностью ти , дифференциальные зависимости при изгибе (2.2) и (2.3) изменяются - вывод сделать самостоятельно из рассмотрения равновесия элемента dz (рис.2.4, а):

а выражение (2.1) остаётся прежним.

Дифференциальные зависимости справедливы при отсчете координаты z слева направо; положительные направления для внутренних силовых факторов (ВСФ) и иитенсивностей q и ти при изгибе указаны на рис.2.4, а.

Если нагрузка прикладывается перпендикулярно плоскости, в которой расположена ось бруса, то обращаются в нуль все ВСФ, действующие в этой плоскости.

На оси симметрии бруса или конструкции обращаются в нуль симметричные ВСФ - нормальная сила и изгибающие моменты (Nz , Мх , My ), если внешняя нагрузка кососимметрична, и кососимметричные ВСФ – поперечиные силы и крутящий момент (Qx , Qy , Mк ), - если внешняя нагрузка симметрична.

Задача 2.1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки (рис.2.1), загруженной распределенной нагрузкой, интенсивность которой изменяется го закону параболы.

Указание. Задавшись законом изменения нагрузки в виде = az2 + b·z + с, найти коэффициенты a, b, с из трех условий: при z = 0 и z = 2·l qz = 0; при z = l qz = q0 . Далее, используя выражения (2.1) и (2.2),

записать:

где постоянные интегрирования C1 (реакция левой опоры) и С2 (Момент на левой oпoрe) определить из граничных условий: при z = 0 и z = l Мх = 0.

Отметим, что в денном примере нам не пришлось предварительно вычислять реакцию левой опоры C1 .

Задача 2.2. При заданных условиях нагружения (рис.2.2, а, б) построить эпюры внутренних усилий.

Указание. Реакции в защемленных подвижных опорах для обеих схем, показанные на рис.2.2, а, б, определить или

из условий равновесия всей конструкции (реакции в опоре D на рис.2.2, б, а также RВ и Rc), или из условий равновесия брусьев ОВ, ОС, ОА, ОD расположенных по одну сторону от шарниров О (реактивные моменты МВ, МС, МА; реакция опоры D на рис.2.2, а).

При составлении выражений для Qy и Мx на участке, где действует синусоидальная распределенная нагрузка, воспользоваться указаниями к предыдущей задаче. Постоянные интегрирования С1 и С2 найти из условий, что в начале участка (при z = 0) имеем: Qу = RD, а Мxо= - МD + RD·l = 0.

7

Задача 2.3. Для заданных схем (рис.2.3, а-в) вычислить реакции опор, а для кривого бруса (рис.2.3, 6) и рамы (рис.2.3, в) построить также эпюры внутренних усилий.

Указание. Реакцию опоры В (рис.2.3, а) найти из условия, что равнодействующая этой реакции и силы F проходит через точку перегиба О (здесь Мx = 0). Реакция опоры С (рис.2.3, б) проходит через шарнир О, что следует из условия равновесия элемента ОС (ΣМО = 0). Реакция в другой опоре параллельна реакции RС и направлена противоположно ей, т.к. брус загружен парой сил. Для определения реакций опор в раме (рис.2.3, в) учесть, что она загружена кососимметрично и, следовательно, в сечении по оси симметрии (под углом 45°) действует лишь поперечная сила; из равновесия горизонтального (вертикального) участка ОА (ОР) определяется величина этой силы и параллельной ей реакции опоры.

Задача 2.4. Для схем, представленных на рис.2.4, б, в, построить эпюры внутренних усилий.

Указание. Так как распределенная нагрузки q и 2·q (рис.2.4, в) не действует по оси бруса, то она дополнительно создает распределенную по длине моментную нагрузку, интенсивность которой не одинакова на участках бруса.

Задача 2.5. По заданным эпюрам ВСФ (рис.2.5, б-г) восстановить внешнюю нагрузку на раму (рис.2.5, а).

Указание. Записав условия равновесия для малых элементов, вырезанных вблизи опорных сечений А, В и узлов рамы С, D, установить сосредоточенные внешние силы (активные и

реактивные), приложенные в указанных сечениях. Затем, используя выражение (2.2, а), найти интенсивности распределенной моментной нагрузки на участках АС,

CD, BD.

Задачи 2.6. He раскрывая статической неопределимости замкнуто контура (pиc.2.6, a-в), определить внутренние усилия и построить их эпюры.

Указание. Учесть кососимметричное и симметричное нагружение и рассмотреть условия равновесия элемента бруса АВ, выделенного на рис.2.6, а-в толстой линией.

8

3. Напряжённо-деформированное состояние. Теории прочности

Относительные деформации в направлении главных напряжений определяются по закону Гука