8.3. Приближенный энергетический метод

При решении многих задач - методом Эйлера или энергетическим методом - возникают значительные трудности математического характера, связанные с получением вида функции v(z). Эти трудности можно обойти, задаваясь видом функции приближенно, стараясь лишь удовлетворить граничным условиям.

Полученная критическая нагрузка будет иметь при этом завышенное значение: упругий стержень с бесконечным числом степеней свободы заменяется системой с одной степенью свободы, которой разрешается изгибаться только пропорционально вполне определенной кривой v(z). На стержень как бы накладывается корсет. Дополнительные связи (которые в действительности отсутствуют) приводят к увеличению значения критической нагрузки.

Пример 3 (рис.8.8). Определить критическую длину шарнирно опертой стойки, нагруженной собственным весом (погонный вес - q).

Решение. На рисунке показано смежное положение стойки, которая вначале была прямой. При критическом значении нагрузки величина П при переходе в смежное положение не меняется. Поэтому для решения задачи следует приравнять изменение потенциальной энергии деформации изменению потенциала внешних сил (сил веса). Примем, что упругая линия стойки представляет полуволну синусоиды v = b∙sin (π∙z/l), где амплитуда b неизвестна Тогда потенциальная энергия деформации изгиба равна /

. (8.6)

Уменьшение потенциала силы веса при переходе в это смежное положение определится выражением

, (8.7)

где λ(z) - вертикальное перемещение элемента длиной dz вследствие изгиба стержня:

. (8.8)

Здесь θ = v'- угол поворота элемента dz. Подставляя (8.8) в (8.7) и приравнивая полученное значение U' потенциальной энергии (8.6), найдем критическую длину стойки

. (8.9)

Рассмотренные методы решения задач устойчивости позволяют найти критические значения внешних воздействий в большинстве случаев. Однако существует класс задач, в которых при достижении силой некоторого значения (критического) происходит переход не к новой форме равновесия, а к определенной форме движения. В этих случаях следует записывать уравнение движения системы, т.е. применять статический метод Эйлера, но в рассмотрение вводить даламберовы силы инерции (динамический метод).

Пример 4 (рис.8.9) [5]. Найти критическое значение "следящей" силы Р (сила всегда направлена по касательной к изогнутой оси на свободном конце стойки).

Решение. Вырежем из стойки, находящейся в смежном (изогнутом) положений, элемент dz (рис.8.10). Проецируя все действующие на него силы (dP_i= ρ∙S∙d²v/dt dz - инерционная сила), на ось у (нормальную силу, ввиду предпо­лагаемой малости перемещений, считаем равной Р), получим дифференциальное уравнение, движения системы:

, (8.10)

решение которого ищем в следующем виде:

, (8.11)

где r - неизвестная, вообще говоря, комплексная постоянная. От ее значения зависит общий характер движения стержня. Если окажется, что r - действительное число, то решение будет содержать cлагаемые типа и , которые в сумме определяют гармонические колебания. В этом случае систему принято считать устойчивой. Однако, если r будет комплексным или чисто мнимым числом, то в решении появятся слагаемые, содержащие множители и (а - действительное число). Это означает, что происходит периодическое движение с возрастающим размахом, то есть неуклонный уход системы от положения исходного равновесия (неустойчивое поведение стойки).

Введя обозначения и решая совместно (8.10) и (8.11), найдем:

. (8.12)

Решение этого уравнения имеет вид

, (8.13)

Где .

Граничные условия:

Y = 0; Y′ = 0 при z = 0; Y" = 0 и Y′′′ = 0 при z = l (ξ = 1). При подстановке этих граничных условий в выражение (8.13) приходим к системе 4-х однородных линейных уравнений относительно А, В, С и D. Определитель этой системы должен равняться нулю, если она имеет отличные от нуля решения, отсюда следует уравнение, связывающее параметр нагрузки k и частоту колебаний ω

k⁴+ 2 ω²+ k² ω∙sin s₁ sh s₂+2 ω² cos s₁ ch s₂ = 0. (8.14)

График полученной зависимости показан на рис.8.11. Видно, что при каждом значении нагрузки (до критического) имеются две собственные частоты ω₁ и ω₂). При возрастании нагрузки частоты сближаются. Кривые зависимостей k(ω₁) и k(ω₁) пересекаются в точке А, т.е. при этом значении силы Р корни уравнения (8.14) становятся кратными. Это означает, что две формы колебаний соответствуют одной частоте, колебания непериодические. При нагружении силой выше той, которой отвечает точка А, в решении появляются комплексные корни, то есть движение системы происходит с возрастающей амплитудой. Найдено:

.

Таким образом, решение методом Эйлера с учетом инерционных сил сводится к решению дифференциальных уравнений в частных производных достаточно сложных даже в этом простом примере.

Решите самостоятельно

1. Абсолютно жесткий стержень постоянного поперечного сечения имеет погонный вес q и приварен к балке длиной l, жесткостью E·J (рис. 8.12). Определить, при какой длине L=L_* система потеряет устойчивость.

2. Стержень длиной l, жесткостью E·J несет по концам массы т/2; нагружен следящей силой Р (рис.8.13). Пренебрегая массой стержня, определить, при каком значении силы Р стержень потеряет устойчивость