6. Особенности расчета ферм

Конструкции, работающие в условиях растяжения-сжатия (фермы), занимают важное место среди других стержневых систем. Однородность напряженно-деформированного состояния в пределах каждого стержня значительно упрощает расчеты и позволяет решать весьма разнообразные задачи, в том числе для систем, требующих нетривиального кинематического анализа.

П ростейшая ферма - это набор стержней, шарнирно скрепленных друг с другом по концам (узлам) и нагруженных (или закрепленных) только в узлах (например, рис.6.1, рис.6.2). Фермы могут включать так называемые жесткие диски - элементы, работающие не только на растяжение (сжатие), но и на изгиб или кручение, но их жесткость намного больше жесткости стержней. Диски считают абсолютно жесткими (например, стержень, выделенный двойной линией на рис 6.3, заштрихованный элемент на рис.6.4).

Встречаются рамы, работающие, как фермы. Они состоят из прямых участков и нагружены сосредоточенными силами (в том числе, опорными реакциями) на концах участков (рис.6.5, 6.6). Строго говоря, это статически неопределимые рамы. Однако из-за того, что жесткость стержней на сжатие обычно существенно выше, чем на изгиб, при определении внутренних силовых факторов (раскрытие статической неопределимости) податливостью стержней на растяжение (сжатие) пренебрегают по сравнению с изгибной. Это допущение и приводит к отмеченному странному на первый взгляд результату (вполне согласующемуся, однако, с той моделью, которую мы используем для рам).

Пример 1 (рис.6.7 - плоская статически неопределимая рама). Для решения задачи выбираем эквивалентную систему, удовлет-воряющую условиям симметрии исходной задачи (рис.6.8). Усло-вия равновесия:

.

Одно из множества решений этой системы имеет вид:

A = P + X₁, B = X₁, C = X₁·l.

Коэффициенты канонического уравнения () находим с использованием соответствующих эпюр (рис.6.9). Пренебрегая, как обычно, податливостью стержней на сжатие, получаем Δ_1P = 0, то есть X₁ = 0; грузовая эпюра и представляет решение.

Рама работает как ферма. По концам участков могут быть поставлены шарниры (снято запрещение поворота), это задачи не изменяет.

Оценим погрешность, с которой решена данная задача. Для этого, вычисляя δ₁₁ и Δ_1F, учтем податливость при сжатии. Получим:

.

Здесь λ - гибкость шарнирно опертого стержня l/i, где i - радиус инерции сечения, равный - .

При вычислении δ₁₁ вторым слагаемым можно пренебречь, так как даже для очень жестких стержней погрешность не будет большой: при λ =20 она составляет 0,75%, при λ = 200 - меньше сотой процента. Значит, и максимальный изгибающий момент (в заделках) равен при нормальной силе, практически равной Р (точнее, А=Р+Х₁=Р·(1 - 3/λ²)). Максимальное напряжение в раме

для случая круглого поперечного сечения равно P(l+6/λ)/S, и, например, при λ = 200 (l/d = 50) найдем

.

Значит, пренебрегая податливостью на сжатие, мы ошибаемся в данной задаче на 0,01% в величине опорной реакции, а в значении максимального напряжения - на 3% (при λ = 200). В менее гибких стержнях ошибка окажется большей. В отличие от рассмотренного примера, конструкция, показанная на рис.6.10, представляет обычную раму: здесь пренебрежение податливостью на сжатие практически не изменяет значений неизвестных метода сил и величин изгибающих моментов. Чтобы это увидеть, достаточно при выборе основной системы врезать в концы участков шарниры. Если в предыдущем случае получается обычная ферма, то здесь - механизм, не находящийся в равновесии. Но при другой нагрузке (рис.6.5) эта рама работает как ферма.

В рамах иногда встречаются отдельные элементы фермы, которые полезно выявить для упрощения построения эпюр Ф. Это стержни, шарнирно закрепленные по концам и не испытывающие поперечной нагрузки (или пар сил) по своей длине. Например, в таких условиях находятся элементы 1 и 2 на рис.6.11 а, б. Выбирая основную систему, полезно такие элементы разрезать, учи-тывая сразу, что изгибающие моменты и поперечные силы в них равны нулю. Заметим, что в задаче на рис.5.5 мы не догадались этого сделать, отчего появилась лишняя неизвестная реакция отброшенной связи С, равная, как это выяснится из условий равновесия, нулю.

Эквивалентные задачи для рам, представленных на рисунках 6.11 а и б, могут иметь вид, показанный на рис.6.12 и 6.13. Это заметно облегчает решение задач.'

В разделе 5 была дана рекомендация: при определении внутренних силовых факторов в фермах разрезать все стержни. Однако если по отношению к внешним связям задача статически определима, то вначале полезнее рассмотреть их глобально (т.е. не разрезая и не интересуясь, есть ли, скажем, стойки и раскосы в фермах) и определить эти реакции. Например, ферму на рис.6.14 представим вначале так, как показано на рис.6.15, определим реакции внешних связей, а затем, рассматривая их как внешнюю нагрузку, решаем задачу обычным методом. Подобным же образом в раме на рис.5.5 можно найти вначале реакцию А (рис.5.6, очевидно, А=Р) и затем - строить эквивалентную задачу (рис.5.5).