8. Отыскание опорного решения задачи лп на основе табличного алгоритма замены переменных.

*общее предисловие к вопросам 8 и 9 В задаче линейного программирования (ЛП) кроме уравнений-ограничений существует ещё и линейная функция L  c0  c1x1  ... cjxj  ... cnxn, => нужно минимизировать. После замены xj  yi её нужно выразить через новые свободные переменные x1, x2,..., xj1, yi , xj1,..., xn. Для этого можно использовать тот же алгоритм, что и для преобразования любой строки таблицы. Действительно, т.к. L  c0  (1x1 ... jxj ... nxn ) , где 1  c1; 2  c2; ... n cn, мы получим её одну строку (добавочную) стандартной таблицы, в которой никогда не выбирается разрешающий элемент. С помощью табличного алгоритма обмена переменных в уравнениях основной задачи ЛП (ОЗЛП) можно решить любую задачу ЛП. Нахождение решения распадается на 2 этапа=> т.е. на 8 и 9 вопрос (отыскание опорного решения и отыскание оптимального решения).

Отыскание опорного решения (ОР) – т.е. попутно выясняется, имеет ли вообще данная задача допустимые (неотрицательные) решения.

Пусть имеется ОЗЛП с ограничениями-равенствами, в следующей форме

y₁  b₁  (₁₁x₁ ₁₂x₂  ..._1nx_n );

...

y_m  b_m  (_m1x₁ _m2x₂  ..._mnx_n ).

Первое пробное решение x₁  x₂  ... x_n  0.

Если все b_i  0 , то это допустимое решение. Следовательно, оно опорное.

Если какие-либо b_i  0 , то это решение не допустимое и не опорное.

Для нахождения ОР нужно шаг за шагом обменивать базисные и свободные переменные пока не найдем его, либо убедимся, что система уравнений несовместима с неравенствами x₁  0, x₂  0,..., x_n  0; y₁  0, y₂  0,..., y_m  0.

Очевидно, нужно так обменивать базисные переменные со свободными, чтобы эта

процедура приближала нас к границе ОДР, т.е. чтобы число отрицательных свободных членов уменьшалось или при том же числе убывали их абсолютные величины.

Способ выбора разрешающего элемента для приближения к опорному решению

Пусть имеется одно из уравнений с отрицательным свободным членом.

Ищем в этой строке отрицательный _ij. Если они все положительные

(значит все a_ij 0)), данная базисная никогда не будет положительной.

Выберем столбец, в котором находится отрицательный _ij , в качестве разрешающего столбца.

Рассмотрим только те элементы столбца, которые имеют один знак со свободным членом. Выберем из них тот в качестве разрешающего элемента, для которого отношение к нему свободного члена минимально (свободный член/коэффициент при x).

Пример

Найти опорное решение задачи ЛП

y1 1 (x1  2x2  x3);

y2  5 (2x1  x2  x3);

y3  2  (x1  x2);

y4 1 (x2  x3).

	Св. член	x1 , x1  y3	x2	x3
y1	1 2	-1 1	-2 1	1 0
y2	-5 4	-2 2	1 2	-1 0
y3 , y3  x1	2 2	1 λ=1	1 1	0 0
y4	1 0	0 0	-1 0	1 0

Св. член равен -5 – это плохо!

; - это для строки y₂ - это для строки y₃

2<. Производим замену y₃  x₁ , получаем

	Св. член	y3	x2	x3, x3  y2
y1	3 -1	1 2	-1 3	1 1
y2 , y2  x3	-1 1	2 -2	3 -3	-1 λ=-1
x1	2 0	1 0	1 0	0 0
y4	1 -1	0 2	-1 3	1 1

Св. член равен -1 – это плохо!

; - это для строки y_1. - это для строки y_2.

; - это для строки y_4.

Минимум для строк y_2, y₄ (можно выбрать любой).

Производим замену y₂  x_3, получаем

	Св. член	y3	x2	y2
y1	2	3	2	1
x3	1	-2	-3	-1
x1	2	1	1	0
y4	0	2	2	1

Оптимальное решение найдено.

y₃  x₂  y₂  0; y₁  2; x₃ 1; x₁  2; y₄  0.