3.2. Элементы теории статистических решений

ВОЗМОЖНО, ДЛЯ MxN

Неопределенность в данном случае, это не какой-то разумный и враждебный противник, а природа. Это незаинтересованная сторона, у нее нет сознательных действий. Такие задачи часто называются «играми с природой». Их нельзя решать методами антагонистических игр, так как со стороны «природы» противодействие отсутствует.

У стороны А имеется m возможных стратегий: А₁, А₂, …, A_m, о природе можно сделать n предположений: S₁, S₂, …, S_n. Последние можно рассматривать как состояния или стратегии природы. Наш выигрыш a_ij при каждой паре стратегий (A_i, S_j) задается матрицей, приведенной в табл.1. Требуется выбрать такую стратегию игрока А (чистую или смешанную), которая является наиболее выгодной для него.

Ai	Sj
	S1	S2	…	Sn
A1	a11	a12	…	a1n
A2	a21	a22	…	a2n
…	…	…	…	…
Am	am1	am2	…	amn

Sj – неизвестные состояния больного организма, а стратегии A_i – возможные планы лечения. Выигрыш a_ij – эффективность лечения, например вероятность выздоровления. В качестве такой вероятности можно использовать соответствующую частость, либо субъективную вероятность, задаваемую экспертом.

Учитывая, что состояниями природы мы не управляем, кроме показателя a_ij можно ввести другие, отражающие удачность выбора данной стратегии именно в данной ситуации. К таким показателям относится риск. Риском r_ij игрока А при пользовании стратегии А_i в условиях S_j называется разность выигрышем, который он получил бы, если бы знал условия S_j, и выигрышем, который он получит, не зная их и выбирая стратегию А_i. Следовательно,

_rij = β_j – a_ij

При поиске оптимальной стратегии игрока А в зависимости от выбранного показателя a_ij или r_ij либо максимизируется выигрыш, либо минимизируется риск.

Так как мы хотели бы иметь наибольший выигрыш и одновременно наименьший риск, то этот объединенный показатель f_ij, названный «сочетанным показателем полезности», вычисляется в виде

^{fij = aij – rij}

Чем больше f_ij, тем лучше, т.к. больше выигрыш и меньше риск, поэтому при оптимизации выбора А_i показатель f_ij нужно максимизировать.

Пусть, для примера, больной организм может находится в одном из трех состояний: S₁, S₂, S₃ – а у врача есть три варианта лечения: А₁, А₂, А₃. Применение лечения А_i к больному в состоянии S_j приводит к вероятности выздоровления a_ij. Пусть значения a_ij задаются матрицей M_a в виде таблицы 2.α

Таблица 2

Ai	Sj
	S1	S2	S3
A1	0,95	0,90	0,85
A2	0,97	0,92	0,75
A3	0,99	0,75	0,60

α₁=0,85

α₂=0,75

α₃=0,60

β₁=0,99 β₂=0,75 β₃=0,85

Рассчитаем по этой матрице значения αi приведены справа от соответствующих строк, а значения β_j – под соответствующими столбцами. Матрица M_r получается из матрицы M_a вычитанием на основе соотношения

поэтому M_r имеет виды, представленный в табл.3. Наконец матрица M_f сочетанного показателя полезности fij определяется разностью M_f = M_a – M_r и имеет вид табл.4. Для этой матрицы также рассчитаны нижняя и верхняя цена игры

При нахождении минимальных стратегий игр по полученным матрицам M_a и M_f выполняются соотношения α=β, что говорит о наличии устойчивых чистых стратегий, определяемых седловой точкой. Для обеих матриц это оказалась одной и той же 0,85. В таблицах она определяет пару оптимальных чистых стратегий (А₁, S₃). В общем случае решение находится в области смешанных стратегий.

Наиболее прост для решения случай, когда заранее известны априорные вероятности состояний: P₁=P(S₁), P₂=P(S₂), …, P_n=P(S_n), причем P₁ + P₂ + … + P_n = 1. На практике чаще всего эти вероятности неизвестны. Если они известны, то при использовании показателя aij решение игры находится на основе максимизации среднего значения , где

с учетом вероятностей всех возможных условий, т.е. выбираем такую стратегию А_i, для которой

Очевидно, что при использовании показателя r_ij решение игры находится на основе среднего риска, т.е.

а для показателя f_ij

В теории доказывается, что та же стратегия, которая обращает в максимум средний выигрыш , обращает в минимум и средний риск . Там же показано, что при использовании вероятностей состояний применение смешанных стратегий для А не дает ему дополнительных преимуществ, поэтому можно обойтись чистыми стратегиями.