13. Игровые методы обоснования решений. Основные понятия теории игр. Платежная матрица.
Рассмотрим игру (модель конфликтной ситуации), в которой участвуют два игрока A и B, имеющие прямо противоположные интересы, поэтому выигрыш одного равен проигрышу другого. Такая игра называется парной игрой с нулевой суммой. Если игрок A выигрывает a, то игрок B при этом выигрывает −a, поэтому сумма выигрышей всегда равна нулю. Процесс игры заключается в последовательных ходах (личных – сознательных и случайных) противников, а совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации называется стратегией игрока. При конечном числе стратегий игра будет конечной. Пусть у игрока A имеется m возможных стратегий A1, A2, …, Am, а у игрока B – n возможных стратегий B1, B2, …, Bn. Пусть также известны величины aij – выигрыши игрока A при использовании Ai с его стороны и Bj со стороны противника. Тогда игра, называемая игрой m×n, может быть представлена таблицей, называемой платежной матрицей Bj или просто матрицей игры (табл. 1).
Таблица 1
|
|
Bj |
|||
|
Ai |
B1 |
B2 |
… |
Bn |
|
A1 |
|
|
… |
|
|
A2 |
|
|
… |
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
Am |
|
|
… |
|
Приведение игры к матричной форме может само по себе составить трудную задачу, однако таким путем многоходовая игра фактически сводится к одноходовой – от игрока требуется сделать только один ход: выбрать подходящую стратегию. Для данного игрока среди всех стратегий имеется оптимальная, обеспечивающая ему максимальный выигрыш. Задача теории игр – нахождение оптимальных стратегий игроков в предположении одинаковой «разумности» противников.
14. Нижняя и верхняя цена игры. Принцип минимакса. Решение игры в чистых стратегиях.
По
платежной матрице (см. предыдущий вопрос)
игры определяется нижняя α и верхняя β
цены игры. Допустим, что
(выбираем
минимальное число в строке, записываем
их рядом и у нас получается столбец из
минимальных значений),
(выбираем
максимальное число в столбце – строка
из максимальных),
тогда
(из
выписанных сбоку в столбец минимальных
значений ищем максимальное)
(из
выписанных снизу в строку максимальных
значений ищем минимальное)
Принцип выбора противниками стратегий, соответствующих получению ими выигрышей α и β называется принципом минимакса, а сами стратегии – минимаксными. Минимаксные стратегии устойчивы по отношению к информации о поведении другой стороны только в случае, если α=β. Тогда у матрицы есть седловая точка (это месторасположение совпавшего числа (чистой стратегии) в матрице аля (2,3) – то есть вторая строка третий столбец). а величина 𝛄=α=β называется ценой игры. Стратегии Ai и Bj, при которых достигается выигрыш 𝛄, называются оптимальными чистыми стратегиями, а их совокупность – решением игры.
Возможно, еще подойдет первая часть решения задачи из пункта 3.2 (она будет в самом конце).