7) Табличный алгоритм замены переменных.

Рассмотрим СУ ограничений следующего вида:

Пусть нужно вывести из свободных переменных, переменную x₂ и заменить ее на базисную переменную, т.е. x_j ↔ у_i

Раньше бы выражали x₂ через y₃ и подставляли в каждое уравнение.

В пунктах ниже скобка системы не поставилась почему-то, НЕ забудьте ее поставить!

Алгоритм решения:

1) Перепишем нашу СЛ в следующем виде:

(свободный член – (остальное) )

2) Введем обозначения: (-a_ij = α_ij), тогда ( минус а = альфа)

В ЭТИХ ФОРМУЛАХ ВОЗЛЕ х СТОИТ АЛЬФА!

3) Представим полученную СУ в стандартной табличной форме.

	Св.член	X1	X2	X3	X4
Y1		α11	α12	α13	α14
Y2		α21	α22	α23	α24
Y3		α31	α32	α33	α34
Y4		α41	α42	α43	α44
Y5		α51	α52	α53	α54

4) Произведем замену переменных x_j ↔ у_i

Алгоритм замены х_j ↔ у_i:

1) Выделим разрешающий элемент α_ij.

Элемент x_j определяет разрешающий столбец, а элемент у_i разрешающую строку. На пересечении этого столбца и строки лежит разрешающий элемент.

Вычислим λ, где (λ = 1/ α_ij ) и запишем полученное число в нижней части разрешающей ячейки

2) Все элементы разрешающей строки (кроме α_ij) умножаем на λ и результат записываем в нижних частях ячеек.

3) Все элементы разрешающего столбца умножаем на (-λ) и также записываем в нижней части ячеек, также не трогая разрешающий элемент.

4) Выделяем (обводим) в разрешающей строке все верхние числа (прежние элементы), а в разрешающем столбце – нижние (новые), за исключением разрешающего элемента.

5) Для каждого из элементов, не принадлежащего ни к разрешающей строке, ни к разрешающему столбцу, запишем в нижней части произведение выделенных чисел в той же строке и в том же столбце, что и данный элемент и заполняем все ячейки.

6) Переписываем таблицу, заменяя x_j ↔ у_i (пусть для примера x₂ ↔ у₁)

	Св.член	X1	Y1	X3	X4
X2		\\\	\\\	\\\	\\\
Y2		\\\	\\\	\\\	\\\
Y3		\\\	\\\	\\\	\\\
Y4		\\\	\\\	\\\	\\\
Y5		\\\	\\\	\\\	\\\

7) Элементы разрешающей строки и разрешающего столбца заполнить числами, стоящими в нижних частях ячеек (новыми элементами).

8) Каждый из оставшихся, заменить суммой чисел, стоящих в нижних и верхних частях ячеек.

Пример (из лекции за 10.03)

1) Перепишем систему уравнений

2-3) Введем обозначения (-a_ij = α_ij), и построим таблицу

	Св. член	X1	X2	X3
Y1	-5	-1	1	-2
	-1/2	-1/2	-1/2	0
Y2	1	-2	1	0
	-1/2	λ = -1/2	-1/2	0
Y3	-1	0	-2	1
	0	0	0	0
Y4	2	1	0	1
	1/2	1/2	1/2	0

4) Произведем замену переменных x₁ ↔ у₂

5) Выделим разрешающий элемент α₂₁ и вычислим λ (жирными линиями показан) Элемент выделен красным

6) Все элементы разрешающей строки (кроме α₂₁) умножаем на λ и результат записываем в нижних частях ячеек. Новые элементы выделены желтым.

7) Все элементы разрешающего столбца умножаем на (-λ) и также записываем в нижней части ячеек, также не трогая разрешающий элемент.

8) Выделяем (обводим) в разрешающей строке все верхние числа (прежние элементы), а в разрешающем столбце – нижние (новые), за исключением разрешающего элемента. Ячейки закрашены розовым цветом.

9) Для каждого из элементов, не принадлежащего ни к разрешающей строке, ни к разрешающему столбцу, запишем в нижней части произведение выделенных чисел в той же строке и в том же столбце, что и данный элемент и заполняем все ячейки.

10) Переписываем таблицу, заменяя x₁ ↔ у₂. Элементы разрешающей строки и разрешающего столбца заполняем числами, стоящими в нижних частях ячеек (новыми элементами). Каждый из оставшихся, заменяем суммой чисел, стоящих в нижних и верхних частях ячеек

	Св. член	Y2	X2	X3
Y1	-5 + (-1/2)		1+(-1/2)	-2+0
	-11/2	-1/2	1/2	-2
X1			1	0
	-1/2	-1/2	-1/2	0
Y3	-1+0		-2+0	1+0
	-1	0	-2	1
Y4	2+(1/2)		0+(1/2)	1+0
	5/2	1/2	1/2	1