4) Геометрическая интерпретация озлп.

Пусть имеется задача ЛП с n независимыми x₁, x₂, …, x_n и m линейно-независимыми уравнениями, в которой n-m = 2.

Алгоритм решения:

1) Выбираем 2 свободные переменные (пусть x₁ и x₂).

2) Остальные переменные (базисные) выражаем через эти 2, используя метод Гаусса (последовательного исключения переменных).

3) Получаем m уравнений следующего вида:

m штук уравнений

4) В области свободных переменных (координаты x₁ и x₂) находим ОДР, для которой все базисные переменные будут не отрицательными (х_j ≥ 0, j = , т.е.работает в 1 квадранте).

5) Для каждой базисной переменной проделываем следующее:

x₃ = 0, ( = 0), т.е. приравниваем правую часть к нулю и строим прямые.

– по одну сторону соответствующая базовая переменная будет ≥ 0, эту часть и заштриховываем;

– по другую сторону соответствующая базовая переменная будет < 0.

6) Совмещаем все положительные полуплоскости и получаем ОДР.

(Как правило, ОДР представляет собой выпуклый многоугольник и стороны его ограничивают область. Всякая ОДР удовлетворяет системе ограничений (*)).

7) Для нахождения оптимального решения, необходимо построить L и проанализировать ее положение относительно ОДР.

Анализ положения l относительно одр.

Рассмотрим задачу, нахождения оптимального решения, т.е. такого, решение которого обращает функцию L в минимум.

L = (**), где x_j – элементы решения

k = n – m = 2 (свободные переменные)

Каждая базисная переменная выражена через свободные

Если x₁ и x₂ – свободные переменные, то базисные переменные –

Дадим геометрическую интерпретацию поиска оптимального решения.

1) Выразим L через свободные переменные: L = γ₀ + γ₁*x₁ + γ₂*x₂ (1)

Очевидно, что минимум L достигается при тех же значениях x₁ и x₂, что и для функции L’ = L – γ₀ = γ₁*x₁ + γ₂*x₂

2) Придадим L’ некоторое постоянное значение: L’ = С.

Тогда γ₁*x₁ + γ₂*x₂ = С – уравнение прямой.

х₂ = – (γ₁ / γ₂)* x₁ + (С / γ₂), т.е. угловой коэффициент = – (γ₁ / γ₂)

3) На самом деле, основная прямая определяется выражением L’ = 0 и проходит через начало координат. Её легко построить по двум точкам: (0;0) и (γ₂; – γ₁)

Положение основной прямой на плоскости Х₁ОХ₂ и направление уменьшения значения L’ будет зависеть от величин и знаков коэффициентов γ₁ и γ₂.

Если знаки γ₁ и γ₂ одинаковые, то прямая лежит во 2 и 4 квадрантах.

Зелеными стрелочками показано направление УМЕНЬШЕНИЯ L’.

(Для примера: если знаки γ₁ и γ₂ одинаковые (положительные), то

С = γ₁*x₁ + γ₂*x₂ и для уменьшения значения С нужно x₁ и x₂ уменьшать, т.е. двигать вниз)

4) Мысленно перемещаем и находим наиболее удаленную точку, в которой L’ минимальна. Эта точка должна принадлежать ОДР.

Найденная нами точка определяет оптимальное решение.

5) Опустим перпендикуляры на оси x₁ и x_2, таким образом найдем x₁^* и x₂^*. Подставим эти значения в выражения для базисных переменных и найдем полный набор все x₃^*, x₄^*, …, x_n^*

Тогда (x1*, x2*, …, xn*) – оптимальное решение

L_min = γ₀ + γ₁*x₁^* + γ₂*x₂^*

Пример (метода стр.13 – там условие не надо, а сразу на уравнения смотрим)

Выпишу из лекции некоторые вывода (вдруг в развернутом ответе она потребует)