15. Решение игры в смешанных стратегиях.

Часто α≠β, тогда для получения наибольшего выигрыша игроку выгодно не применять одну (чистую) стратегию, а чередовать случайным образом несколько стратегий. Такие стратегии, состоящие в случайном чередовании чистых стратегий, называются смешенными и задаются соответствующими вероятностными векторами. Примем, что S_A – смешанная стратегия игрока А, а S_B – смешанная стратегия игрока B. Тогда S_A = (p₁, p₂, …, p_m), S_B = (q₁, q₂, …, q_n), где p_i – вероятность применения игроком А стратегии A_i, q – вероятность применения игроком B стратегии B_j, причем

Если допустить применение смешанных стратегий (чистая стратегия – частный случай смешанной), то для каждой конечной игры можно найти хотя бы одно решение, т.е. пару устойчивых оптимальных стратегий игроков , обладающих следующими свойствами: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому не может быть выгодно отступить от своей. Выигрыш, соответствующий решению, называется ценой игры и в общем случае (при применении смешанной стратегии) лежит в интервале α≤𝛄≤β.

Возможно, еще подойдет вторая часть из примера из пункта 3.2 (она будет внизу).

16. Игры 2х2 и их решение.

Это самая простоя конечная игра. Ее матрица имеет вид табл. 1

Таблица 1

Ai	Bj
	B1	B2
A1	a11	a12
A2	a21	a22

Если для этой матрицы α=β, то игра имеет седловую точку и ее решение – это пара чистых стратегий, пересекающихся в седловой точку. Если же в матрице 2х2 седловой точки нет и α≠β, то необходимо искать решение в смешанных стратегиях. Пара оптимальных смешанных стратегий: , - и цена игры в этом случае определяется по формулам

17. Геометрическая интерпретация решений игры 2х2.

Игры 2х2 имеют простую геометрическую интерпретацию. Отложим на некоторой числовой оси отрезок единичной длины А₁А₂ (рис.1). Пусть точки А₁ и А₂ соответствуют применению одноименных стратегий, а любая точка внутри этого отрезка соответствует некоторой смешанной стратегии . Тогда ординаты прямой В₁В₁ соответствуют выигрышу игрока А при применении им любой стратегии (чистой или смешанной) с условием, что В применяет В₁. Прямая В₂В₂ также отражает выигрыш игрока А в случае, когда В применяет В₂. Жирной линией показана граница выигрыша B1NB2 (минимальный выигрыш игрока А при любой его смешанной стратегии). Решение достигается в точке максимума нижней границы (N на рисунке). Геометрические построения легко осуществляются по элементам матрицы игры, которые откладываются на вертикальных осях. По рисунку легко находятся α, β, 𝛄 и проводится анализ игры.

Рисунок 1

18. Решение игр 2хn.

Игры 2хn можно легко решить с помощью геометрического способа. Они задаются матрицей игры (табл.1), а на рис.1 показана геометрическая интерпретация этой игры для случая n=4.

Таблица 1

Ai	Bj
	B1	B2	…	Bn
A1	a11	a12	…	a1n
A2	a21	a22	…	a2n

Рисунок 1

Геометрическое построение осуществляется так же, как и для игры 2х2, только число наклонных линий получается равным n, по числу стратегий для игрока В. Нижняя граница игры может быть сложной ломанной линией, максимум которой определяет решение игры.

Из рис.1 нижняя граница выигрыша B₁MNB₂, ее максимум достигается в точке N, которая определяет оптимальную стратегию . Стратегия В₃ вообще может не рассматриваться как заведомая невыгодная игроку В, а значения p₁ и p₂ можно найти по формулам игры 2х2, учитывая, что в точке N активных стратегий игрока B только две, B₂ и B₄.

Там еще ниже в след. вопросе есть алгоритм по пунктам, который можно вписать.

Пример идз Влады, любезно скинутое Тоней)