мат. модел в почв

Часть II. Применение математических моделей в почвоведении

3.6. Сравнение параметров аппроксимации и выбор наилучшей функции для конкретной выборки

В зависимости от ситуации нередко требуется оценить досто верность различия двух выборок, описываемых одной и той же функцией. Рассмотрим ситуацию на конкретном примере. Мы ис следовали зависимость биомассы двух видов бактерий от темпе ратуры, т.е. изучалась их термофильность. Получили соответст вующие данные, которые могут быть представлены на графике

(рис. II.3.25).

Здесь явно экспериментальные точки зависимости биомассы от температуры для двух видов бактерий описываются функцией с одним максимумом, очевидно, гауссиадой:

Рис. II.3.25. Зависимость биомассы двух видов бактерий от температуры

Стоит вопрос: достоверно ли отличаются исследованные ви ды бактерий по термофильности?

На языке математического моделирования этот вопрос фор мулируется так: достоверны ли параметры аппроксимации двух

301

Математическое моделирование в почвоведении

выборок, имеющих один вид и аппроксимируемых одной функ цией? Вот его то и решим. Мы проведем аппроксимацию указан ных двух экспериментальных выборок гауссовой функцией, полу чим параметры аппроксимации, докажем их значимость. Далее надо рассмотреть, достоверно ли различаются параметры, полу ченные при аппроксимации экспериментальных данных функци ей одного вида. Зная параметры аппроксимации и их статистику (в частности, среднеквадратические ошибки Sb), по полученным параметрам можно сравнить исследованные объекты статистиче ски. Для соответствующих параметров аппроксимации ( bn' и bn'' )

разных выборок можно рассчитать t критерий по следующей формуле:

ветственно, если t критерий оказывается больше табличного для данной степени свободы и уровня значимости (традиционно 0.05), то параметры двух выборок значимо отличаются друг от друга. В этом случае можно утверждать о достоверности различий соответствующих характеристик процесса. Например, если отли чаются параметры b2 уравнения, описывающего зависимость биомассы бактерий от температуры, то можно утверждать, что исследованные два вида бактерий достоверно различаются по биологическому оптимуму, т.е. по оптимальным температурам своего развития. А если достоверно различаются, например, па раметры b3, то два вида различаются по толерантности (или по экологической амплитуде).

Такого рода задачи по доказательству различия 2 х функций постоянно возникают в почвоведении и экологии. Широко из вестно использование уравнений Фрейндлиха и Ленгмюра для описания процессов равновесной сорбции, параметры которых также активно применяются при моделировании процессов пе

302

Часть II. Применение математических моделей в почвоведении

реноса агрохимикатов и различных токсикантов. Весьма интерес ными представляются попытки описания кривых сорбции десорбции паров воды почвами с помощью нелинейных функций, процессов водоустойчивости агрегатов, некоторых физико механических свойств почв и почвенных агрегатов в зависимости от влажности. Ну и, кроме того, большинство параметров указан ных функций имеют физическое обоснование. Случай гауссиады уже разобран. А вот пример из химии. Напомним, что в степен ном уравнении Фрейндлиха, используемом для характеристики процессов сорбции, несмотря на его эмпирический характер, сте пенной параметр (показатель степени), можно рассматривать как показатель неоднородности сорбционных центров – он прибли жается к 0 по мере возрастания неоднородности и стремится к 1 при увеличении их однородности. Поэтому анализ параметров, их сравнение для различных объектов могут дать большое количе ство разнообразной информации об объекте, его функциониро вании и возможных путях развития.

3.7. Анализ различия моделей и выбор лучшей. Непараметрический критерий Вильямса Клюта

Вторая проблема, возникающая при практическом использо вании процедуры аппроксимации, – это выбор наиболее подхо дящей функции для описания одних и тех же экспериментальных данных. Эта проблема также весьма распространена в науке, при количественном описании данных. Так, например, для описания основной гидрофизической характеристики (ОГХ) в почвенной гидрофизике используют более 20 типов математических моде лей, которые в разных случаях имеют свои преимущества и не достатки. Это связано как с разнообразием ОГХ для разных поч венных объектов, так и с разнообразием физически обоснован ных моделей, в которых используется аппроксимация ОГХ. Для

303

Математическое моделирование в почвоведении

описания процессов сорбции химики используют либо уравнение Фрейндлиха, либо Ленгмюра. Но какое из них лучше?

Для того, чтобы ответить на вопрос о различии моделей и вы боре лучшей, часто используется критерий, предложенный Виль ямсом и Клютом. Отметим, что предложенный критерий является непараметрическим, т.е. не требует строго соблюдения закона нормального распределения для исходных данных и пр. Т.е. этот критерий как все непараметрические статистики достаточно де мократичен, и его применение возможно при небольшом (не столь большом, как в классической статистике) количестве дан ных. Но надежность выводов, полученных с помощью непарамет рических критериев, несколько слабее по сравнению с классиче скими параметрическими. Остановимся на следующей проблеме: у нас есть массив экспериментальных данных «отклик – предик тор», для этого массива мы можем подобрать несколько (скажем, две) нелинейных функции. Далее стоит вопрос – различаются ли описания экспериментальных данных с помощью этих функций или они равнозначны (не имеет значение, какую использовать). И если они различаются, то какая из функций лучше описывает экс периментальные данные?

Давайте вспомним экспериментальные данные из раздела «3.5.2. Аппроксимация нелинейных уравнений…», представляю щие собой зависимость минерализации от глубины грунтовых вод. Для того, чтобы разобраться в процедуре аппроксимации данных нелинейной функцией мы использовали степенную функ цию и получили соответствующую аппроксимацию и достоверное

рализация. Зададимся вопросом: мы использовали степенное уравнение, хотя возможно экспоненциальное уравнение вида y=b1exp(b2x) будет лучше?

304

Рис. II.3.26. Графики функциональных зависимостей по данным минера лизации грунтовых вод от глубины их залегания

Используя непараметрический критерий Вильямса Клюта по пытаемся выбрать лучшую модель для описания наших экспери ментальных данных. Этот критерий основан на анализе погреш ностей, даваемых первым (в нашем случае – степенное уравне

После этого следует оценить достоверность k по критерию Стью дента. Если k достоверно (т.е. рассчитанный tk больше t таблично го для соответствующего числа степеней свободы и вероятности), то модели будут достоверно различаться. Это первый вывод по сравнению выбранных функций. Второй касается того, какое из

305

Математическое моделирование в почвоведении

уравнений лучше описывает экспериментальные данные. Если tk критерий >0, то первая модель лучше, если tk<0, то лучше вторая модель.

Таким образом на основании анализа t критерия регрессион ного коэффициента уравнения V от U делают достоверный вывод о различии используемых в качестве моделей уравнений и выбо ре, какое из уравнений лучше использовать для описания экспе риментальных зависимостей.

Приводим пошаговый алгоритм расчета критерия Вильямса Клюта для определения лучшей модели:

1.Найти абсолютные погрешности моделирования по модели

2.Для каждой пары ошибок первой и второй модели для соот ветствующей экспериментальной точки, в программе Excel

найти их полусумму и разность V =( абс1 + абс2 ) / 2 – полу сумма, разность U =Δабс2 − абс1 соответственно.

3.В пакете Statistika 6.0 построить регрессионную зависимость вида V =k U , где V – полусумма, U – разность.

4.Оценить достоверность коэффициента регрессии k по t критерию.

5.Если k достоверен, то модели достоверно различаются.

6.Далее обратить внимание на знак t критерия. Если tk> 0, то первая модель лучше, если же tk < 0, то вторая.

7.Сделать вывод о том, какая модель более качественно ап проксимирует экспериментальные данные.

Врезультате получаем таблицу II.3.7 с пошаговым расчетом лучшей модели по критерию Вильямса Клюта.

Таким образом, с помощью критерия Вильямса Клюта мы до казали, что степенная и экспоненциальная модели для описания наших данных достоверно не различаются с уровнем значимости

306

Часть II. Применение математических моделей в почвоведении

0.05 (а вот при уровне значимости 0.1 различаются достоверно) и степенная модель лучше. Её и надо использовать в дальнейших расчетах.

Таблица II.3.7 Расчет критерия Вильямса Клюта для определения лучшей модели

307

Математическое моделирование в почвоведении

Глава 4. Модели переноса солей, солевого режима почв и их экспериментальное обеспечение

Теоретические физические основы движение ионов в поровом пространстве почв.

Основные явления переноса веществ: диффузия, гидро динамическая дисперсия, влажность нерастворяющего объема. Уравнение конвективно дисперисионного переноса (КДУ). Физические явления, входящие в КДУ в виде составляющей «источник/сток» и их математическое описание.

Теоретические основы

В почве под действием различных сил постоянно происходят явления перемещения воды и веществ. Основные процессы, оп ределяющие движение веществ в поровом пространстве почвы – это конвективный перенос, сорбция, диффузионный массопере нос и дисперсионный перенос. Конвективным переносом назы вается принудительное движение вещества потоком движущейся воды. Он происходит в пространстве почвы, заполненном водой (т.е. для этого вида переноса необходимо учитывать объемную влажность почвы θ) и обусловлен, прежде всего, скоростью дви жения раствора. Поэтому, эту составляющую переноса на основе балансового закона (уравнения неразрывности) записывают обычно в виде

где θ – объемная влажность почвы в долях единицы, с – концен трация растворенного вещества, t время, z – координата, в на правлении которой происходит перенос (в дальнейшем, в форму лах t и z опустим) и qw – скорость потока раствора. Именно кон вективный перенос свойственен растворенным веществам, пере

308

Часть II. Применение математических моделей в почвоведении

носимым свободным потоком – реками, ручьями, поверхностным

ивнутрипочвенным стокам.

Вусловиях почвенной среды для описания конвективного пе реноса необходимо использовать так называемую «истинную» скорость раствора, зависящую от пористости почвы. Это связано с тем, что конвективный поток будет проходить только через сече ние открытых пор. Принимая в первом приближении, что отно шение суммарной площади сечения открытых пор к площади се чения всей системы в целом равняется активной пористости почв, истинная скорость раствора в условия полного насыщения почвы

равна U =qw ε , где ε – активная пористость среды для данного раствора, выраженная в долях единицы. Если почва не насыщена влагой, то величина активной пористости будет с уменьшением объемной влажности. Соответственно будет происходить и сни жение скорости конвективного переноса растворенных веществ потоком влаги. Тем не менее, именно конвективный перенос яв ляется основной составляющей переноса веществ в почве.

Кроме конвективного переноса веществ в почвах всегда су ществует и другой механизм переноса, связанный с молекуляр ной диффузией.

Молекулярная диффузия – это распространение веществ в результате теплового (броуновского) движения в соответст вии с градиентом концентрации в направлении перпендику лярном воображаемой поверхности раздела.

Математически в свободном объеме воды она оценивается в соответствие со вторым законом Фика как произведение коэффи циента диффузии и градиента концентрации:

где Dm – коэффициент молекулярной диффузии [см2/сут]. Осталь ные обозначение те же. Скорость диффузионного переноса зави сит от концентрации, состава раствора и от внешних условий. Для

309

Математическое моделирование в почвоведении

коэффициентов диффузии электролитов в водных растворах (са модиффузии) имеются достаточно подробные данные. Например выяснено, что при невысоких значениях концентраций растворов солей NaCl, KCl, KJ (до 10 г/л) при температуре 25°С, независимо от состава соли и концентрации, коэффициент диффузии может приниматься равным 2,16 см2/сут.

Практически всегда при передвижении растворов (конвекция) имеется перепад концентрации на границе вода раствор (диффу зия растворенного вещества). Поэтому фронт движущегося рас твора не имеет четко выраженных границ по концентрации веще ства, и оказывается не резким, а «размытым». Однако, кроме яв ления молекулярной диффузии на «размытость» фронта оказыва ет влияние и специфическое свойство почвы – структура поро вого пространства.

Впервые на это явление обратил внимание С. Слихтер, кото рый при изучении движения грунтовых вод использовал электро лит и наблюдал постепенное возрастание концентрации индика тора вниз по потоку. Лабораторные фильтрационные опыты на колонках почвы впервые были проведены в России А.Н. Остряко вым. Он промывал почву растворами различной концентрации и анализировал порции фильтрата, поступающего с нижней грани цы колонки. Остряков отметил, что в исследованных почвах (пес чаная аллювиальная, серая лесная, чернозем) перемешивание тем больше, чем длиннее путь фильтрации и выше скорость дви жущегося раствора. На основании этих опытов и последующих экспериментов Л.П. Розова, Г.М. Меерсона, И.Н. Антипова Каратаева и др. было установлено, что распределение движуще гося иона в поровом пространстве связано со сложной траектори ей его движения, вызванной извилистостью и пересеченностью порового пространства почвы.

Поровое пространство почв имеет сложную форму с влаго проводящими путями, весьма далекими от цилиндрических ка пилляров. Представим, что в почве имеются крупные прямоли нейные и тонкие извилистые поры. Ионы, передвигающиеся в

310