мат. модел в почв

Часть II. Применение математических моделей в почвоведении

ная, и логарифмическая функции могут быть сведены к экспонен циальной, пользоваться которой при аппроксимации многих при родных явлений бывает проще.

Логистическая функция

Логистическая функция или логистическая кривая – самая общая сигмоидальная (S образная) кривая. Простейшая логисти

Для логистической функции область допустимых значений х совпадает с множеством всех действительных чисел. Более того, она уникальна по своей форме (рис. II.3.6): сначала медленно, за тем ускоренно возрастает, напоминая показательную функцию, а после второй фазы возрастания уже медленно и постепенно при ближается к некоторой максимальной величине. Из за своей формы, напоминающей греческую букву σ – «сигма», кривую не редко называют «сигмоидной».

Благодаря своей форме, указанным трем фазам медленного, ускоренного возрастания и постепенного выравнивания, эта сиг моидная функция применима для очень многих природных про цессов, которые сначала развиваются медленно (лаг фаза в био логических процессах), потом ускоряются, а в завершающей ста дии постепенно замедляются.

ϕ( x) = 1 +1e−x

Рис. II.3.6. График логистической функции

251

Математическое моделирование в почвоведении

Вторая стадия, стадия быстрого роста логистической кривой, приблизительно соответствует экспоненте (показательная функ ция). Затем, по мере насыщения, рост замедляется, проходит ли нейную фазу и, наконец, практически останавливается. А это опи сание многих процессов роста, при обратном знаке перед аргу ментом, т.е. процессы разложения, распада и многие другие.

Это уравнение очень широко используется в экологии, где но сит название по имени впервые сформулировавшего его бельгий ского математика – уравнение Ферхюльста. При ограничении процессов размножения организмов в популяции, каким либо ресурсом, например, количеством доступной пищи, удельная скорость роста популяции зависит от ее численности (плотности). Математические модели, учитывающие данный эффект, называ ются моделями плотностно зависимого роста. Логистическое уравнение Ферхюльста является простейшей моделью из этого ряда. В данной модели предполагается, что удельная скорость роста популяции линейно уменьшается с ростом численности, и существует некая предельная численность популяции K, при дос тижении которой добавление к популяции новых особей возмож но лишь при условии гибели части уже имеющихся. Эта предель ная численность K носит название емкость среды. Данный пара метр известен также как ресурсный. Уравнение Ферхюльста в дифференциальном виде имеет следующий вид:

dx = xr 1 − x . dt K

Здесь r – мальтузианский параметр, K – ресурсный параметр. Уравнение Ферхюльста имеет аналитическое решение:

x(t) = x0Ken , K − x0 + xx en

где x0 – начальная численность популяции.

Для многих биологических процессов применяется также уравнение логистического типа, которое тоже носит название по

252

Часть II. Применение математических моделей в почвоведении

имени великого ученого, впервые применившего этот тип урав нения. Это был крупнейший французский биохимик Жак Моно (1910 1976). Уравнение Моно в самой общей записи имеет сле дующий вид:

при которой скорость роста равна половине максимальной; b1 – максимальная скорость роста, равная величине r в формуле Фер хюльста.

В почвоведении этот тип функций также широко распростра нен. Вспомним уравнение Ленгмюра, которое почвоведы исполь

глощенном состоянии (моль/г), С – концентрация вещества в рас творе (моль/л), A∞ – максимальная концентрация поглощенного вещества (моль/г), Kл – константа Ленгмюра, размерность кото рой совпадает с размерностью концентрации (моль/л). Физиче ский смысл её аналогичен константе Михаэлиса – это концентра ция вещества в растворе, при которой концентрация вещества в

В этом случае, в большей степени выполняется условие уве личения скорости подъема функции на второй стадии и более плавного «торможения» подъема на третьей. Это, как правило, бывает ближе к описанию некоторых природных процессов.

С этой сигмоидной функцией, часто используемой при мате матическом моделировании природных процессов, мы еще не раз столкнемся и в этой книге.

253

Математическое моделирование в почвоведении

К вопросу о…

Закон Вебера Фехнера

Основной закон психофизиологии, связывающий интенсив ность воздействия и интенсивность ощущения, носит назва ние закона Вебера Фехнера. Э.Г. Вебер (Е. Н. Weber, 1795–1878), немецкий физиолог и анатом, исследовал органы чувств чело века (слух, зрение и осязание). Он первый обнаружил, что ощу щение растет нелинейно с увеличением воздействующего раз дражителя. Например, если к шестидесяти горящим свечам до бавить еще одну, то человек заметит увеличение яркости. А вот если горят 120 свечей, то человек не заметит добавления еще одной. Требуется добавить 2 свечи, чтобы испытуемый заметил увеличение яркости. А если горят 300 свечей, то надо добавить уже 5 свечей, чтобы почувствовать различие. Так Ве бером было предложено понятие порога различения. Вполне по нятно, что порог ощущения нелинейно зависит от интенсив ности (прироста) раздражающего фактора. Этот факт стал основой для всей экспериментальной физиологии органов чувств и получил название «правило Вебера».

Густав Теодор Фехнер (G. Th. Fechner, 1801–1887), немецкий физик, проанализировал данные Вебера и предложил логариф мическую зависимость ощущения от величины воздействующе го сигнала. Вот и получился закон Вебера Фехнера, который математически выразился соответствующей логарифмиче ской зависимостью. Все было бы хорошо, если бы в середине 20 го века американский исследователь С.С. Стивенс не усомнился именно в логарифмической форме и не предложил степенную функцию, которая больше, по его мнению, подходит для описа ния поведения сенсорной системы. Т.е. в этом случае в лога рифмических координатах зависимость ощущения от воздей ствующего фактора (стимула) становится простой прямой. Так какой же формулой закона пользоваться: экспоненциальной или степенной? Какая лучше описывает процесс? Какое уравне ние использовать, скажем, в светотехнике? Мы уже знаем, что

254

Часть II. Применение математических моделей в почвоведении

для различных процессов можно использовать разные формулы, которые могут лучше или хуже описывать этот процесс. К вы бору можно привлечь некоторые формальные критерии. На пример, приведенный ниже непараметрический критерий Виль ямса Клюта. Но, к сожалению, он тоже не всегда дает одно значный ответ, и, кроме того, мы всегда хотим разобраться в механизме явления, т.е. понять, что происходит, в том числе и с помощью математического описания явления. Так, видимо, оказалось и в случае закона Вебера Фехнера. В определенном диапазоне воздействующего фактора экспериментальные дан ные описывает лучше экспонента, а в другом – степенная зави симость. И вывод из этой интересной истории, конечно, дол жен быть такой: надо понимать различие между физическим процессом который может быть очень сложным и никогда не опишется в широком диапазоне одним уравнением и просто ап проксимацией экспериментальных данных, которая хотя и по лезна в работе, но чаще формальна. Мы снова возвращаемся к основному девизу математического моделирования: «Цель ма тематического моделирования – не цифры, а понимание» (по книге Ю.П.Чуковой «Закон Вебера Фехнера», 2009 и ж лу «Зна ние сила, 6, 2011)).

Функции с одним экстремумом

Среди функций, имеющих один максимум или минимум можно выделить две, часто используемые в естественных науках:

1.Параболическая

2.Гауссовская функция и гауссовская логит функция.

Параболические функции

График с одним экстремумом можно получить в частном слу чае степенной функции или при использовании любой квадра тичной функции. Например, очень часто можно встретить запись классической параболической функции в виде полинома 2 й сте пени, а именно y =b0 +b1 x +b2 x2 .

255

Математическое моделирование в почвоведении

Действительно, случай квадратичной функции мы будем от носить к более общему случаю полиномиальной зависимости (многочлена степени n, где n = 2), а под параболой мы будем по

ло (рис. II.3.7.)

Рис. II.3.7. Примеры графиков параболических функций

Гауссовская функция

Кривая нормального распределения или гауссовская кривая напоминает параболу и чаще всего описывает распределение частот в выборке (например, гистограмма распределения частот ошибок) (рис. II.3.8). Если выборкой является популяция, многие ее свойства можно описать с помощью кривой нормального рас пределения (например, изменение численности при изменении условий среды):

где μ и σ2 – параметры гауссовского распределения, интерпрети руемые обычно, как математическое ожидание (среднее) и дис персия соответственно.

Так, для случая описания роста живых организмов гауссов

256

Часть II. Применение математических моделей в почвоведении

параметры аппроксимации. Вид гауссовской функции весьма спе цифичен – эта функция очень напоминает симметричный коло кольчик, симметричный в отношении значения b2, среднего (рис. II.3.9). В природе случаи строгой симметрии не так уж часты, не редко для лучшего понимания происходящих процессов и встре чающихся явлений указанным параметрам придают физический или эколого биологический смысл: b1 – обилие вида; b2 – биоло гический оптимум и b3 – толерантность (мера экологической ам плитуды).

Рис. II.3.8. Гауссовское распределение

Иногда используют несколько другой вид гауссовской кривой, так называемую «гауссовскую логит кривую» (см. рис. II.3.10 e). В этом случае в качестве предиктора берут параболу (или полином 2 й степени). Эта кривая имеет более плоскую вершину, чем гаус совская, что нередко используется для описания зависимости продуктивности от того или иного природного фактора.

Итак, можно подвести некоторые итоги рассмотрения нели нейных функций, применяемых в естествознании. Ниже, на рис. II.3.10, приведены их аналитические уравнения и графики, кото рые могут быть ориентиром для выбора той или иной функции для описания экспериментальных данных.

257

Математическое моделирование в почвоведении

Рис. II.3.9. Вид гауссовского распределения (по Джонгману и др.,1999)

b1 – обилие вида (максимальная численность), b2 – точка оптимума фак тора, b3 – предел толерантности (биологическая валентность)

Рис. II.3.10. Прямая (а), экспоненциальная кривая (б), сигмоидная кривая (в), парабола (г), гауссовская кривая (д) и гауссовская логит кривая (е)

258

Часть II. Применение математических моделей в почвоведении

Функции с несколькими экстремумами

Итак, перед нами стоит задача попытаться найти функцио нальное выражение числовой последовательности, имеющей сложный вид. Это может быть динамика какого либо свойства, т.е. его изменение во времени, тогда аргументом будет время, а переменной отклика – какое либо свойство почвы, например, влажность, температура, содержание иона и пр. Или, одномо ментное распределение какого либо свойства по профилю почвы. Тогда аргументом будет глубина (z), а переменной отклика – ка кое либо свойство почвы, например, содержание солей. В любом случае, мы имеем распределение некой функции отклика с не сколькими экстремумами. Попытаемся найти подходы для мате матического описания этого явления.

Для описания кривых с несколькими экстремумами приме няются следующие функции:

1.Полиномы 3 й и более высокой степени

2.Сплайн функция

Полиномиальная функция

Полиномиальная функция имеет вид многочлена степени n y=b0+b1x+b2x2+b3x3+…+bnxn и применяется для описания экспери ментальных данных в случае, если ни одна из вышеописанных функций не применима. Полиномиальная функция высокой сте пени способна описать практически любые данные, однако ин терпретация коэффициентов аппроксимации при этом затрудни тельна. В почвоведении, впрочем, нередко бывает необходимо описать довольно сложный процесс или явление. Например, ма тематически описать динамику температуры на поверхности поч вы для того чтобы использовать это описание в математических моделях теплопереноса в почвах. Здесь приходит на помощь именно полиномиальная функция.

Для математического описания сложных и неясных по физи ческой сути явлений нередко ничего не остается, как попробовать начать это описание именно с полинома, причем высокой степе

259

Математическое моделирование в почвоведении

ни. Потом возможно удастся это уравнение (полином) упростить, и более того, даже выяснить физический смысл некоторых пара метров (см. раздел 3.3 «Элиминирование параметров»). Однако подчеркнем, в большинстве случаев, параметры полиномов не несут физического смысла и в физически обоснованных моделях их использование возможно, но без раскрытия физической осно вы процесса и, соответственно, управления им.

Например, в моделях распространения тепла в почве нередко используют для зависимости теплопроводности λ от объемной влажности почвы θ, которая имеет нелинейный характер, поли номиальную модель, предложенную Чангом и Хортоном (Chung and Horton, 1987) λ(θ) =b1 +b2 θ+b3 θ0.5 , где b1, b2 и b3 – некото рые эмпирические параметры, не имеющие строгого физического смысла. Это означает, что при использовании модели затрудни тельно будет сказать, что происходит с почвой, когда изменяется тот или иной параметр. Соответственно, затруднительно интер претировать результаты изменения температурного режима почв при изменении параметров указанного уравнения.

Уравнение Т.А. Архангельской (Архангельская, 2012), также связывает температуропроводность с влажностью w следующим образом:

где w – влажность почвы, κ – соответствующая ей температуро проводность, κ0, a, w0 и b – параметры кривой. Но в отличие от модели Чанга и Хортона эти параметры имеют ясный физический смысл: κ0 – температуропроводность сухой почвы; w0 – влажность, при которой достигается максимум температуропроводности; κ0+a – максимальная температуропроводность при w=w0. Пара метр b характеризует ширину пика кривой.

260