2.7. Произвольная пространственная система сил

Система сил, действующих на абсолютно твердое тело, линии действия которых направлены в пространстве произвольно, называется произвольной пространственной системой сил.

При графическом способе задания такой системы сил задаётся модуль вектора силы и углы, определяющие направление этого вектора в трехмерной декартовой системе координат. Рассмотрим это на примере одной силы (рис. 11, а). Пусть задана сила и углы и , определяющие положение этой силы в системе отсчета, показанной на рис. 11, a.

Рис. 11: а) схема графического задания положения силы

в пространстве; b) схема к аналитическому заданию

пространственной силы

Из рис. 11, a имеем: , , .

Модуль вектора силы определится по формуле

. (11)

Если задана система сил , то, проектируя эту систему на оси координат, получим:

; (12)

; (13)

. (14)

Результирующая пространственной системы сил определится по формуле

. (15)

2.8. Задание моментов пространственной системы сил

Упрощённый метод задания момента пространственной силы относительно оси основан на том, что каждый момент можно представить в виде пары сил. Тогда для задания пары сил необходимо задать модуль момента пары, плоскость действия пары и направление действия пары в этой плоскости (рис. 12, а).

Рис. 12: а) схема момента пары сил в виде вектора _;

_b) сложение векторов и моментов пар

Момент пары задаётся в виде вектора, который по модулю равен моменту пары и направлен перпендикулярно плоскости действия пары так, что, при виде с его конца, действие пары направлено против хода часовой стрелки (рис. 12, а).

Модуль вектора равен модулю момента пары, то есть, моменту одной из сил пары относительно точки, где приложена другая сила.

Сложение моментов пар в пространстве. Возьмем две пары и , плоскости I и II действия которых пересекаются по линии АВ (рис. 12, b). Представим их моменты в виде двух векторов и . Тогда, складывая эти векторы, найдем их сумму .

Если на тело действует пар, то их суммарный момент определится по формуле

. (16)

Проектируя это уравнение на оси координат, найдем:

(17)

, (18)

. (19)

Результирующий момент определится по формуле

. (20)

Условие равновесия моментов пар сил запишется следующим образом . Из этого следует:

9. Центр тяжести твердого тела

На любое тело и любую его часть действует сила, направленная вертикально вниз, называемая силой тяжести. Для тел, размеры которых очень малы по сравнению с земным радиусом, силы тяжести, действующие на частицы тела, можно считать параллельными друг другу и сохраняющими для каждой частицы постоянную величину при любых поворотах тел. Поле тяжести, в котором выполняются эти условия, называется однородным полем тяжести (рис. 13).

Рис. 13. Схема к определению координат центра тяжести тела

Равнодействующую сил тяжести, действующих на частицы данного тела, обозначим через . Модуль этой силы определяется равенством При любом повороте тела силы остаются приложенными в одних и тех же точках тела и параллельными друг другу. Следовательно, равнодействующая сил будет при любых положениях тела проходить через одну и ту же неизменно связанную с телом точку С, являющуюся центром параллельных сил тяжести. Эта точка называется центром тяжести тела (рис. 13).

Центром тяжести твердого тела называется неизменно связанная с этим телом точка, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести частиц данного тела при любом его положении в пространстве.

Свойство неизменности точки приложения равнодействующей параллельных сил при их повороте в одну и ту же сторону на один и тот же угол используется для определения координат центра тяжести тела. Обозначим силы тяжести частей тела через , а координаты точек их приложения через Равнодействующую сил обозначим через , а координаты точки её приложения

Разместим тело в системе координат и определим координаты центра тяжести тела, то есть, координаты точки . Применим к силам и их равнодействующей теорему Вариньона: момент равнодействующей равен сумме моментов составляющих сил.

₍₂₁₎

отсюда

(22)

Далее

₍₂₃₎

(24)

Повернём оси координат так, чтобы сила была перпендикулярна плоскости (рис. 13). Тогда получим

(25)

откуда

(26)

Центр тяжести - точка геометрическая и может лежать вне пределов данного тела (например, центр тяжести кольца расположен в его геометрическом центре).

Так как элементарные частицы могут двигаться в пространстве вдали от гравитационных полей, то для них понятие центр тяжести теряет смысл и заменяется понятием «цент масс». Это такая точка, в которой можно свести всю массу элементарной частицы. Тогда для описания движения этой частицы в пространстве достаточно описать движение её центра масс.

В разделе «Статика» рассмотрено статическое взаимодействие тел. В следующем разделе «Кинематика» рассматривается движение точек и тел без учета их масс и без учёта сил, действующих на них.