8.3. Методи перспективного числення населення

Основними методами демографічного прогнозування є: методи, засновані на застосуванні тієї чи іншої математичної функції (экстраполяционный і аналітичний методи), а також метод пересувки віків, чи метод компонент.

8.3.1. Методи, засновані на застосуванні математичних функцій

Основною сферою застосування методів цього класу є прогнозування чисельності населення невеликих територій (наприклад, регіонів тієї чи іншої країни), особливо тих, для яких не існує надійної демографічної статистики. Для прогнозування населення на рівні країни в цілому математичні методи застосовуються рідко, оскільки неврахування змін у компонентах росту чисельності населення й у возрастно-половой структурі, властивий цим методам, обумовлює виникнення істотних помилок прогнозу. На регіональному ж рівні імовірність таких помилок може бути зменшена за допомогою додаткової умови, що полягає в тім, що сумарна чисельність населення регіонів не повинна відрізнятися від результатів прогнозу для країни в цілому. Останній, таким чином, виступає як контрольний параметр для прогнозування населення на регіональному рівні.

Математичні методи іноді застосовуються також для аналізу історичної динаміки і прогнозування чисельності населення на глобальному рівні, як це буде показано нижче.

Математичні методи дозволяють одержати прогноз тільки загальної чисельності населення. Можливо, правда, прогнозування окремо численностей чоловіків і жінок, однак їхня сума може відрізнятися від прогнозу чисельності населення в цілому.

У минулому підходи до прогнозування населення були, чи явно сховані, математичними по своїй природі. Застосування математичних методів припускає, що на основі наявних емпіричних даних про чисельність населення підбирається деяке математичне вираження, що може бути використане для пророкування його майбутніх параметрів. Використання математичних методів має ряд недоліків. По-перше, вони дозволяють прогнозувати тільки загальну чисельність населення, але не дають можливості передбачати зміни його складу, наприклад, розподілу за віком, підлозі, расі. По-друге, у випадку, якщо мається багато фактичних даних (крапок, побудованих на їхній основі), підібране математичне вираження, як правило, не проходить через кожну з них, зокрема, і через останню...Це знижує надійність пророкування прогнозних значень. По-третє, математичний підхід припускає, що соціальні й економічні фактори, що визначали динаміку населення в минулому, збережуться в незмінному виді й у майбутньому.

Spiegelman M. Introduction to Demography. Cambridge, MA. 1Ш. P. 406.

Для прогнозування в принципі можуть застосовуватися самі різні математичні функції. Найбільше часто, однак, ис-пользуютсядкнейноя, експонентна» логистическая функції. При цьому прогнозування, засноване на застосуванні лінійної й експонентної функцій, іноді чисто умовно називають экстраполяционным методом, а прогнозування, засноване на застосуванні логистической і інших функцій, — аналітичним метод ом*. Нижче коротко розглядаються основні методи экстраполяционного й аналітичного прогнозування.

Экстраполяционный метод

Экстраполяционный метод заснований на прямому використанні лінійної й експонентної функцій, тобто даних про середньорічні абсолютні зміни чисельності населення за чи період про середньорічні темпи чи росту приросту. Якщо ці показники відомі, то можна розрахувати чисельність населення на будь-яке число років уперед, просто припустивши їхню незмінність протягом усього прогнозного періоду.

Один з найпростіших способів прогнозування заснований на припущенні про те, що середньорічні абсолютні приросты чисельності населення, розраховані для звітного періоду часу, збережуться й у майбутньому.

Інакше кажучи, у цьому випадку для перспективного розрахунку застосовується лінійна функція

P_t =P₀ + Δ*t,

де P₀ і P_t,— чисельність населення відповідно в моменти часу 0 і t, Δ— абсолютний середньорічний приріст, t — час у літах.

Нехай, наприклад, нам відома чисельність населення Новосибірської області за даними переписів населення 1979 і 1989 р. (2618 тис. чоловік і 2782 тис. чоловік відповідно). Визначити чисельність населення Новосибірської області на 1 січня 2000 р. при припущенні незмінності її абсолютних середньорічних приростов. Для цього спершу розрахуємо величину абсолютних середньорічних приростов:

Δ = тис.чіл.

Чисельність населення Новосибірської області на 1 січня 2000 р. буде дорівнює:

Р₂₀₀₀ = 2782 + 16,4 * 11 = 2962,4 тис. чіл.

У реальності для прогнозування чисельності населення лінійна функція практично не використовується, оскільки припущення про незмінність абсолютних середньорічних приростов може бути відносно вірним тільки для дуже коротких періодів часу (не більш 5 років).

Трохи більш реалістичним є припущення про незмінність середньорічних темпів приросту чисельності населення, особливо при допущенні незмінних рівнів народжуваності і смертності і відсутності міграції. У цьому випадку мова йде про використання в прогнозуванні експонентної функції:

P_t =P₀ * e^rt,

де r — середньорічні темпи приросту, t — час у літах, е — підстава натуральних логарифмів.

Застосуємо цю формулу для оцінки чисельності населення Новосибірської області на 1 січня 2000 р., використовуючи приведені вище дані. Розрахуємо насамперед середньорічні темпи приросту

r =

Визначимо чисельність населення Новосибірської області на 1 січня 2000 р., використовуючи обчислене значення середньорічних темпів приросту:

P₂₀₀₀ = 2782 е^0,00607*11 = 2782 * 1,06905 = 2974,1 тис. чіл.

Аналітичний метод

Як видно, розрахунок по експонентній функції дав для Новосибірської області велику чисельність на 1 січня 2000 р., чим розрахунок по лінійній функції. Це відбиває велику швидкість зміни у випадку росту по експоненті. Проте для коротких періодів (не більш 15 років) застосування обох функцій дає подібні результати. Однак у випадку, якщо має місце зменшення чисельності населення, як зараз відбувається в більшості регіонів Росії, те більш кращим є використання експонентної функції, тому що це гарантує, що чисельність населення не стане негативної. Экстраполяционный метод застосуємо тільки при відсутності різких коливань народжуваності, смертності і міграції.

Аналітичний метод заснований на тім, що виходячи з минулої демографічної динаміки підбирається функція, найбільше близько її що описує. У принципі це може бути будь-як функція. Однак у будь-якому випадку ця функція носить емпіричний характер, і не існує ніякого загального математичного закону демографічної динаміки⁵,

Математичні вираження, що використовуються для опису росту населення, є по необхідності емпіричними; не може бути знайдено ніякого закону росту населення, хоча деякі математичні рівняння визначалися саме як такий закон. При побудові чи рівняння кривої, що відповідають даним переписів населення, в одному випадку виходять із припущення, що чисельність населення є поліноміальною статечною функцією від часу:

Р_t = а+bt+сt²+dt³+..,

де константи а, b, з, d, ...оцінюються за допомогою придатної техніки, наприклад, за допомогою методу найменших квадратів. Якщо оцінюються только константи а і b, то одержуємо просто лінійну функцію; додавання інших констант означає перехід до квадратичної чи параболи до парабол більш високих порядків. Наприклад, Pritchett використовував кубічну параболу для даних переписів США з 1790 по 1880 рік і екстраполював дані про чисельність населення на майбутнє. Spiegelman M. Introduction to Demography. Cambridge. MA. 1968. P. 406.

Конкретний вид функції підбирається виходячи з виду емпіричної кривої, а також гіпотези про зв'язок чисельності населення з часом як незалежної перемінний. Один клас такого роду гіпотез приведений у вставці. Якщо ж припустити, що зміна чисельності населення за нескінченно малий проміжок часу є функцією чисельності населення, то одержують інші математичні вираження.

Одним з них є експонентна функція з ненульовим постійним членом, чи ріст (збиток) населення в геометричній прогресії, розглянутий вище в цьому параграфі.

Іншим прикладом такого роду функцій є широко застосовувана в перспективному численні чисельності населення логистическая функція (крива Ферхюлста-Пирла-Рида), особливість якої полягає в тому, що її збільшення зменшується в міру росту чисельності населення. Зупинимося трохи докладніше на цій функції, з огляду на її роль в історії демографії.

Логистическая функція виражається наступною формулою:

P_t =

Тут Р_t — чисельність населення в момент часу t, b — постійна інтеграції, I/a — деяка гранична чисельність, до якої асимптотически наближається чисельність населення з ростом t, і 1/a - параметр, що визначає конкретний вид кривої. Логистическая крива симетрична щодо крапки перегину, що дорівнює 1/2a. При малих значеннях Р темпи його приросту практично постійні і рівні приблизно і. З іншого боку, якщо значення Р великі і близькі до 1/а, темпи його приросту прагнуть до 0.

Ідея логистической функції була уперше висловлена А. Кетле в 1835 р. і пізніше (у 1838 р.) аналітично виведена бельгійським математиком Пьером Франсуа Ферхюлстом (Verhulst) (1804—1849). Ферхюлст намагався знайти криву, що описує ситуацію «автонасыщения», що припускає існування деякої граничної для даних конкретних умов чисельності населення. В міру наближення до цієї граничної чисельності ріст населення сповільнюється внаслідок дії деяких сил опору, що заважають цьому росту. Пошук такого роду функції був необхідний А. Кетле для спростування так називаного «закону народонаселення» Т.Р. Мальтyca. Цей «закон», виходить з того, що ріст населення, що обмежується не нічим, відбувається в геометричній прогресії (по експонентній функції). За словами Кетле, у дійсності експонентний ріст не має місця через те, що « чиопір сума перешкод його збільшенню, за інших рівних умов, діє як квадрат швидкості, з який населення має тенденцію росту»⁷. Розвиваючи цю ідею, Ферхюлст і вивів зазначену вище функцію.

Потім логистическая крива була надовго забута і знову виведена американськими біологами Р. Пирлом (1879—1940) і Л. Ридом, що досліджували закономірності динаміки популяції мух дрозофіл. У 1920 р. Пирл і Рид опублікували статті за назвою «Про темпи росту населення Сполучених Штатів з 1790 р. і їхньому математичному вираженні», у якій вони поширили виведену ними закономірність на людське населення і застосували логистическую криву для прогнозування чисельності населення США⁸. Формула, виведена Пирлом і Ридом, мала наступний вид⁹:

P_{t =}

Як показало порівняння розрахункових даних з підсумками наступних переписів населення США, отримані дані добре погодяться з чисельністю населення по переписі 1930 р., перевищують на 5 мільйонів чисельність населення по переписі 1940 р., недооцінюють більш ніж на 2 мільйони чисельність населення по переписі 1950 р. і далеко розходяться з підсумками наступних переписів¹⁰. Основна причина цих розбіжностей полягає не тільки в тім, що прогноз не враховував зовнішню міграцію в США, але й у тім, що його автори фактично ігнорували імовірність зміни репродуктивного поводження населення, припустивши незмінність показників народжуваності протягом усього прогнозного періоду. Точно так само прогноз Пирда і Рида не враховував зміни в смертності.

Відомий також досвід застосування логистической функція для прогнозу чисельності населення СРСР. У 1930 р. вітчизняний біолог Г.Ф. Гаузе опублікував свій прогноз, заснований на використанні логистической функції".

Як і розглянуті вище лінійна й експонентна функції, логистическая функція не може відбивати динаміку реальних населений у скільки-небудь тривалій перспективі. Вона може використовуватися, головним чином, для прогнозування чисельності невеликих територій на короткі періоди часу. Умовою качественности прогнозу й у даному випадку є контроль за допомогою даних про чисельність населення всієї країни. Перспективні розрахунки за допомогою логистической функції вимагають знання чисельності населення на три равноудаленных моменти часу (чи на інше кратне трьом їхнє число) чи завдання чисельності населення на два равноудаленных моменти часу і нижньої і верхній асимптот. При цьому, якщо нижня асимптот може бути прийнята за ПРО, для визначення верхньої асимптоты не існує ніякої розумної процедури, що давала б перспективне значення максимальної чисельності населення.

Проте логистическая функція може використовуватися для прогнозування невеликих територій, якщо загальна чисельність населення країни використовується як контрольна величина для сумарного населення всіх регіонів. У цьому випадку замість розрахунку чисельності населення регіону прогнозуються частки населення кожного регіону в загальній чисельності населення країни. Оскільки частка може змінюватися тільки в межах від 0 до 1, ці величини можуть використовуватися як нижня і верхня асимптоты логистической кривої.

Знаючи прогнозні значення цих часток і прогнозну величину чисельності населення всієї країни, можна визначити і майбутню чисельність населення кожного з регіонів.

В даний час розроблені спеціальні комп'ютерні програми, що дозволяють прогнозувати динаміку чисельності населення за допомогою логистической функції. Як приклад укажемо тут розроблену Э. Арриагой з Міжнародного Програмного Центра Бюро цензів США систему спеціальних електронних таблиць PAS¹².

Хоча, як було сказано вище, не існує і не може існувати ніякого універсального математичного закону, що описує динаміку чисельності населення, проте в демографії відомі численні спроби знайти подібний закон. Зокрема, дуже популярні спроби вивести гіперболічний закон росту населення Землі. Як приклад подібних спроб можна вказати на гіперболічний закон росту чисельності населення Землі, що опублікований у, що наробила у свій час багато шуму книзі радянського астронома И.С. Шкловского «Всесвіт. Життя. Розум»¹³:

N =

Тут я чисельнику приведена гранична чисельність населення Землі в мільйонах чоловік, а в знаменнику — кінцевий рік (2030) і календарний час. Аналогічну формулу вивели також Маккендрик і Хорнер. Вона приводиться в книзі С.П. Капицы «Теорія росту населення Землі»¹⁴:

N =

Це вираження, за словами С.П. Капицы, «з дивною точністю описує ріст населення Землі протягом сотень і навіть багатьох тисяч років». Правда, далі автор обмовляється, що застосовність такого роду формул обмежена (Див.: вставку).

По-перше, у міру наближення до 2025 року населення світу буде прагнути до нескінченності. Цей висновок, завдяки якому ця формула одержала деяке поширення, і змусив деяких вважати 2025 рік як час настання Судного Дня. По-друге, і в далекому минулому виходить настільки ж абсурдний результат, оскільки при створенні Вселеної 20 мільярдів років тому ясно було бути присутнім 10 чоловік, що безсумнівно обговорювали усю велич що відбувається.

Капица С.П. Теорії росту населення Землі. М., 1997. С. 23.

Эзотеричность і абсурдність подібних ігор у математику, що ігнорують власне людську, соціальну природу демографічних явищ, то, що за будь-якими вигинами динаміки чисельності населення, змін народжуваності і смертності, брачности і разводимости і міграції коштує людині зі своїми інтересами, потребами, устремліннями і мотивами, узагалі ж зрозумілі. Проте математики (та й фізики теж), на жаль, грають у подібні ігри, створюючи враження, що населення нічим не відрізняється від біологічних популяцій. І той же С.П. Капица у своєму інтерв'ю газеті«Вісті» навесні 2001 р. затверджував, посилаючись на приведену вище формулу Маккендрика і Хорнера, що до 2025 р. приріст населення припиниться і вийде на стабільну оцінку 13—14 мільярдів чоловік. І це затверджується, незважаючи на опубліковані офіційні (і свідомо перебільшені) прогнози ООН, що чисельність населення Землі стабілізується до 2150 р. і ні при яких умовах не буде на той час перевищувати 11 мільярдів чоловік! Воістину за деревами (формулами) не бачимо лісу (реального людського сусстатььства).

В даний час розроблені спеціальні комп'ютерні програми, що дозволяють прогнозувати динаміку чисельності населення за допомогою різних аналітичних функцій. Аналітичний метод має ті ж обмеження, що і экстрапо-ляционный. Він може застосовуватися тільки для коротких періодів часу, для яких припущення про незмінність характеру залежності між часом і чисельністю населення залишається більш-менш правдоподібним. Однак у періоди різких економічних і соціальних змін, коли радикально міняється вся соціальна структура, застосування цих методів стає абсолютно неправомірним. Як зовсім справедливо підкреслював М. Шпигельман (М. Spiegelman), автор одного з найбільш авторитетних підручників демографії", слабістю методів прогнозування, заснованих на застосуванні математичних функцій, є те, що тенденції, виведені з минулої динаміки, мовчазно продовжуються без змін у майбутнє. «У цьому зв'язку, — продовжує М. Шпигельман, — більш обґрунтованим є застосування з метою демографічного прогнозування методу компонент».