19. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов для давления. (Давление иг с точки зрения мкт.)

Рассмотрим N молекул газа находящихся в состоянии равновесия в сосуде объема V, при этом их концентрация n = N/V. Давле­ние газа определяется суммой нормальных составляющих всех сил, с которыми действуют отдельные молекулы на единичную площадь стенки.

Р и с. 10

Для вычисления этого давления возьмем на стенке сосуда площадку dS и направим ось Z перпендикулярно ей, так что эта площадка будет лежать в плоскости XOY, перпендикулярной плоскости рис. 10. Пусть некоторая молекула падает на площадку dS под углом θ к оси Z. При упругом ударе молекула зеркально (θ₁= θ₂) отразится от площадки dS, сохраняя величину скорости υ неизменной (υ₁ = υ₂ = υ).

По третьему закону Ньютона сила , действующая со стороны стенки на молекулу, равна по величине и противоположна по направлению силе – , с которой молекула действует на стенку.

(1.5.3)

Чтобы найти число молекул, ударяющихся о площадку dS за время dt под углами от θ до θ + dθ и имеющих скорости от υ до υ + dυ, необходимо проинтегрировать соотношение (1.4.4) предыдущего параграфа по всем возможным углам φ (от φ = 0 до φ = 2π), т. е.

(1.5.4)

Эти молекулы сообщают площадке dS за время dt импульс силы

(1.5.5)

Подставляя сюда из выражений (1.5.3) и (1.5.4) величины и , имеем

. (1.5.6)

Чтобы учесть все молекулы, ударяющиеся о площадку dS с различными скоростями υ и под различными углами θ, необходимо последнее соотношение проинтегрировать по υ от нуля до υ_max и по θ от нуля до π/2, т. е.

(1.5.7)

Разделив обе части равенства (1.5.7) на площадь dS, получим выражение для давления, производимого газом на стенку сосуда:

(1.5.8)

Вводя в правую часть выражения (1.5.8) постоянную величину, равную концентрации n молекул в сосуде, получим

(1.5.9)

где ρ = m₀n – плотность газа, а – средний квадрат скорости молекулы газа. Формуле (1.5.9) можно придать следующий вид:

(1.5.10)

где – кинетическая энергия поступательного движения молекулы, среднее значение которой

(1.5.11)

Функция распределения по кинетическим энергиям связана с функцией по скоростям молекул соотношением (см. A.71 прил. А)

(1.5.12)

Таким образом, давление (1.5.10), создаваемое молекулами газа, равно двум третям средней кинетической энергии поступательного движения всех молекул, имеющихся в единичном объеме.

Как видно из выражений (1.5.9)–(1.5.11), давление P зависит от вида функции распределения (или ).

Нахождение функций распределения равновесных (и неравновесных) состояний системы частиц является основной задачей статистической физики.

20. Температура и ее измерение. Эмпирические (Опытные) температурные шкалы. Идеально-газовая шкала температур.

Если привести в соприкосновение два тела с различной степенью нагретости, то молекулы этих тел, сталкиваясь между собой, будут передавать друг другу энергию. При этом тело, которое теряет энергию, называют более нагретым, а тело, которому переходит энергия – менее нагретым. Известно, что макроскопический (суммарный) переход энергии продолжается до тех пор, пока не установится макроскопическое тепловое равновесие между этими телами. В таком состоянии макроскопического перехода энергии от одного тела к другому не будет, хотя на микроскопическом уровне молекулы будут обмениваться энергией.

Для характеристики степени нагретости тел служит понятие температуры. Для сравнения температуры различных тел достаточно выбрать одно из этих тел, которое называется термометрическим телом.

Выбор термометрического тела не является произвольным. Его выбирают таким, чтобы физическая величина, характеризующая состояние этого тела, зависела от температуры. При этом она должна быть: 1) непрерывной; 2) монотонной, т. е. не иметь разных значений при одной и той же температуре; 3) точно измеряемой простым и удобным способом; 4) точно воспроизводимой; 5) иметь как можно большее приращение при изменении температуры на один градус (высокая чувствительность); 6) независимой от влияния других факторов, кроме температуры. Величина, удовлетворяющая перечисленным условиям, называется термометрической величиной.

Вообще говоря, нет ни одной физической величины, которая в полной мере удовлетворяла перечисленным требованиям во всем интервале измеряемых температур. В большей или меньшей степени этим условиям удовлетворяют следующие физические величины зависящие от температуры: давление идеальных газов при постоянном объеме, объем некоторых жидкостей при постоянном давлении, сопротивление металлов, проводимость полупроводников, термоэлектродвижущая сила контактных соединений металлов, интенсивность электромагнитного излучения тел.

Функцию t = f(x), выражающую закономерное соотношение между температурой и показанием термометра, называют уравнением термометра.

Вид функциональной зависимости между температурой и термометрической величиной первоначально можно выбрать только произвольно. Простоты ради ее выбирают линейной, т. е. полагают

(1.6.1)

где а и b – постоянные. Постоянная а определяется выбором единицы измерения температуры.

Выбрав термометрическое тело и термометрическую величину, а также определив уравнение термометра , установим единицу измерения температуры – градус.

Положим в уравнении (1.6.1) t = t₁ и t = t₂. В результате будем иметь

(1.6.2)

где х₁, х₂ – измеренные в опыте значения термометрической величины в реперных точках t₁ и t₂.

(1.6.6)

Запишем уравнение (1.6.6) для шкал Цельсия, Реомюра и Фаренгейта:

(1.6.8)

(1.6.9)

(1.6.10)

Для измерения температуры необходима такая термометрическая величина, изменение которой при изменении температуры было бы независимо (или слабо зависимо) от химической природы вещества.

Такой термометрической величиной описывается газообразное состояние вещества, подчиняющееся уравнению Клапейрона – Менделеева:

(1.7.1)

В абсолютной идеально-газовой шкале так же, как и в шкале Цельсия, разность температур между двумя реперными точками (температурой Т₁ плавления льда и температурой Т₂ кипения воды при нормальном атмосферном давлении) принимается равной 100, т. е. один градус в шкале Цельсия равен одному градусу в абсолютной шкале по определению. Таким образом, в абсолютной шкале

Т₂ – Т₁ = 100. (1.7.3)

Второе уравнение для определения значений температур в реперных точках абсолютной шкалы находится измерением давлений P₁ и P₂ соответствующих температурам Т₁ и Т₂ в реперных точках. Эти измерения дают

(1.7.4)

Решая уравнения (1.7.3)–(1.7.4), находим

Т₁=273,15 К, Т₂=373,15 К.

(1.7.8)

где P₁ – давление в газовом термометре, находящемся в тающем льду. Чтобы при помощи газового термометра измерить температуру тела, необходимо это тело привести в тепловой контакт с газовым термометром и измерить манометром давление газа в нем. Тогда температура Т вычисляется по формуле (1.7.8).

Ввиду того, что так называемая тройная точка воды (одновременное сосуществование в равновесии трех фаз воды твердой, жидкой и газообразной) значительно лучше воспроизводится на опыте, чем точки плавления льда и кипения воды, в 1954 г. по международному соглашению абсолютная шкала или шкала Кельвина строится по одной реперной точке – тройной точке воды температуре которой приписываются точно Т_тр= 273,16 К (или 0,01 С).

Тогда любая температура Т, измеряемая газовым термометром определяется по формуле, аналогичной (1.7.8):

(1.7.9)

И, наконец, для шкал Кельвина и Цельсия на основании выражений (1.6.6) и (1.6.8)

(1.7.10)

(1.7.11)

Вычитая из (1.7.10) выражение (1.7.11), получим связь между шкалами Кельвина и Цельсия:

Т,К = t С+273,15. (1.7.12)