60. Теплопроводность. Уравнение теплопроводности. Основной закон теплопроводности – закон Фурье. Вычисление и экспериментальное определение коэффициента теплопроводности.

Явление теплопроводности наблюдается всегда, если в веществе имеется разность температур, обусловленная какими-либо внешними причинами. С макроскопической точки зрения явление теплопроводности заключается в переносе тепла от горячего слоя к холодному и продолжающемуся до тех пор, пока температура во всем теле не выровняется. В молекулярно-кинетической же теории процесс теплопроводности объясняется тем, что молекулы из горячего слоя, где они имеют большую среднюю кинетическую энергию, проникая в холодную область, передают при столкновениях молекулам этой области часть их кинетической энергии.

Пусть изменение температуры вещества происходит вдоль оси X, в то время как в плоскости, перпендикулярной этой оси, температура постоянна. Опытным путем Ж. Фурье установил закон, согласно которому количество тепла, переносимое за время dt через площадку dS, перпендикулярную оси X, пропорционально величине площадки, времени переноса и градиенту dT/dx температуры:

, (4.5.1)

где – коэффициент теплопроводности, который, как видно из закона Ж. Фурье, имеет в системе СИ размерность Дж/(м∙с∙K) = Вт/(м∙K), и численно равен количеству тепла, переносимого в единицу времени через единичную площадку при градиенте температуры, равном единице. Знак “минус” означает, что тепло переносится от мест более горячих к более холодным.

Закон Ж. Фурье справедлив для веществ, находящихся в любых агрегатных состояниях.

Введем в рассмотрение плотность потока тепла

, (4.5.2)

т. е. величина q равна количеству тепла, проходимого через единичную площадку в единицу времени. С учетом (4.5.2) закон Фурье примет вид

. (4.5.3)

Если нагреть некоторую часть тела, то начнется необратимый процесс теплопроводности. При этом, если зафиксировать координату x в теле, то температура в этой точке будет, очевидно, изменяться со временем, достигая, в конце концов, равновесной температуры. Поэтому температура T является не только функцией координаты x, но и времени t, т. е. T = T(x, t). Тогда, как видно из (4.5.3), поток q будет зависеть от x и t, т. е. q = q(x, t). Процесс теплопроводности, при котором температура и поток являются функциями времени, называется нестационарным.

Выделим в теле, где происходит одномерный (вдоль оси X) нестационарный процесс теплопроводности, элементарный параллелепипед с площадью основания dS и высотой dx (рис. 61).

Р и с. 61

Количество тепла, входящее в параллелепипед за время dt через основание с координатой x,

, (4.5.4)

а уходящее через основание с координатой x+dx за то же время

. (4.5.5)

Таким образом, тепло, поступившее в параллелепипед за время dt,

. (4.5.6)

С другой стороны это тепло можно выразить через теплоемкость тела:

, (4.5.7)

где dm и dT – масса и приращение температуры вещества, заключенного в параллелепипеде, соответственно; и – удельная теплоемкость и плотность вещества.

Разложим функцию q(x+dx, t) в ряд по степеням dx в точке x:

. (4.5.8)

Из выражений (4.5.6–4.5.8) находим

. (4.5.9)

Подставляя в последнее уравнение вместо q(x, t) его выражение (4.5.3), получим

. (4.5.10)

Если коэффициент теплопроводности не зависит от x (однородное вещество), то уравнение (4.5.10) примет вид:

. (4.5.11)

где – коэффициент температуропроводности.

Уравнения (4.5.10–4.5.11) носят название дифференциальных уравнений теплопроводности Ж. Фурье. Искомой функцией в этих уравнениях является распределение температуры T(x, t) по пространству и во времени.

Коэффициент температуропроводности a является физическим параметром вещества и имеет размерность . В нестационарных тепловых процессах коэффициент a характеризует скорость изменения температуры. Если коэффициент теплопроводности характеризует способность вещества проводить теплоту, то коэффициент температуропроводности a есть мера теплоинерционных свойств вещества. В самом деле, из уравнения (4.5.11) следует, что изменение температуры в единицу времени для любой точки вещества пропорционально величине a. Поэтому при прочих одинаковых условиях быстрее увеличивается температура у того вещества, которое имеет больший коэффициент температуропроводности. Сама же величина a тем больше, чем больше тепла способно пропустить вещество в единицу времени через единичную площадку при единичном градиенте температуры (т. е. чем больше ) и чем меньше плотность и теплоемкость вещества. Из опыта известно (см. табл. 4.5.1), что газы имеют малый, а металлы большой коэффициент температуропроводности. Однако для тех и других веществ он является весьма малой величиной, что свидетельствует о медленности процесса теплопроводности.

Таблица 4.5.1

Плотность, коэффициент теплопроводности, теплоемкость

и коэффициент температуропроводности при нормальных условиях

Вещество	, кг/м3	, Вт/м∙K	С, кДж/кг∙K	a∙106, м2/с
Окись углерода Воздух (сухой) Азот Кислород Латунь Олово Алюминий Медь Вода	1,25 1,293 1,25 1,429 8600 7230 2670 8800 999,9	0,0233 0,0244 0,0243 0,0247 85 64 204 384 0,5513	1,039 1,005 1,03 0,915 0,377 0,221 0,921 0,381 4,212	17,9 18,8 18,9 18,9 33,8 41,1 86,7 112,5 0,131

При выводе уравнений (4.5.10–4.5.11) предполагалось, что поток тепла распространяется в одном направлении (вдоль оси X). Нетрудно обобщить эти уравнения на случай, когда температура в веществе изменяется в трех направлениях и зависит от времени, т. е. является функцией .

Для этого в веществе выделим элементарный параллелепипед с объемом dV = dx dy dz (рис. 62).

Р и с. 62

В этом случае температуры граней различны, поэтому теплота в параллелепипеде будет распространяться в направлении осей X, Y и Z.

Согласно закону Ж. Фурье (4.5.1), через грань dydz за время dt в объем dV втекает в направлении оси X количество теплоты

, (4.5.12)

через противоположную грань из того же объема dV вытекает в том же направлении количество теплоты

(4.5.13)

где – температура второй грани, а величина определяет приращение температуры в направлении оси X.

Так как макроскопическая работа не совершается, то приращение внутренней энергии вещества, находящегося в параллелепипеде, из-за движения теплоты в направлении оси X будет равно

. (4.5.14)

Совершенно аналогично приращения внутренней энергии в параллелепипеде в направлении осей X и Y представятся в виде

, (4.5.15)

. (4.5.16)

Суммарное приращение внутренней энергии вещества, находящегося в параллелепипеде, за время dt равно

. (4.5.17)

С другой стороны, согласно закону сохранения энергии, количество тепла, поступившего в параллелепипед, идет на приращение внутренней энергии вещества и, как следствие, на повышение его температуры:

, (4.5.18)

где – масса вещества в параллелепипеде, – удельная теплоемкость при постоянном объеме, – приращение температуры во времени (за время dt).

Так как левые части выражений (4.5.17) и (4.5.18) равны, то и правые равны, т. е.

, (4.5.19)

где .

При выводе уравнения теплопроводности (4.5.19) предполагалось, что в произвольно выбранном элементарном параллелепипеде отсутствуют внутренние источники тепла. При наличии таких источников, необходимо к правой части уравнения (4.5.19) добавить величину q_V, равную количеству тепла, поставляемого источниками в единицу объема вещества в единицу времени, разделенную на . Поэтому дифференциальное уравнение теплопроводности с источниками тепла внутри тела будет иметь вид

. (4.5.20)

По существующей классификации дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка уравнение теплопроводности является уравнением параболического типа (содержат первую производную по времени). Для решения этих уравнений необходимо располагать начальными и граничными условиями. Начальные условия предполагают, что в начальный момент t = 0 задано распределение температур в теле, т. е. задана функция при t = 0. Граничные условия предполагают задание распределения температур на поверхности тела в любой момент времени. Кроме того, должны быть известны геометрическая форма и размеры тела, а также физические параметры окружающей среды и тела. Все эти условия называют краевыми. Решением уравнения теплопроводности с заданными краевыми условиями является функция , которая определяет температурное поле во всем объеме тела для любого момента времени. Решение большинства реальных задач находят численными методами с использованием вычислительных машин.

В качестве примера рассмотрим простейший, но широко распространенный случай – теплопроводность через однослойную плоскую стенку, длина и ширина которой велики по сравнению с толщиной d (рис. 63).

Р и с. 63

Это может быть бетонная или кирпичная стена, отделяющая помещение, в котором поддерживается постоянная температура T₁, от внешней среды, находящейся при другой температуре T₂. Температура изменяется только в направлении, перпендикулярном к плоскости стенки, которое примем за ось X. При стационарном (установившемся) тепловом режиме температура в любой плоскости, параллельной внешним плоскостям стенки и проходящей через любую внутреннюю точку стенки, постоянна и не зависит от времени, т. е. . Так как в направлении осей Y и Z температура не меняется, то . При таких условиях уравнение теплопроводности (4.5.19) принимает вид:

. (4.5.21)

Откуда находим

.

Второе интегрирование дает

. (4.5.22)

Постоянные A и B могут быть найдены из граничных условий. При x = 0 T(0) = T₁ = B; при x = d T(d) = Ad + T₁ = T₂ и, таким образом, A = (T₂ –T₁)/d.

Подставив найденные постоянные коэффициенты в уравнение прямой (4.5.22), получим

. (4.5.23)

Плотность теплового потока q найдем по формуле (4.5.3):

. (4.5.24)

Следует заметить, что тепловой поток зависит не от абсолютного значения температур, а от их разности.

Количество тепла, проходящее через площадь S стенки за время t, на основании формулы (4.5.1), равно:

. (4.5.25)

Это количество теплоты прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности стенки, ее площади S, промежутку времени t, разности температур на внешних сторонах стенки и обратно пропорционально толщине стенки d.

Вычисление и опытное определение коэффициента теплопроводности

Как отмечалось ранее, переносимой величиной при теплопроводности является средняя кинетическая энергия молекулы, т. е.

. (4.6.1)

Проделаем очевидные преобразования с правой частью (4.6.1)

, (4.6.2)

где – масса молекулы и молярная масса соответственно.

Подставляя (4.6.2) в (4.4.7), получим

, (4.6.3)

где – плотность газа.

Сравнивая последнее выражение с (4.5.1), находим

. (4.6.4)

Из последнего соотношения видно, что коэффициент теплопроводности не зависит от давления, так как плотность газа прямо пропорциональна давлению, а средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению; средняя же скорость молекул и удельная теплоемкость газа не зависят от давления. Это можно объяснить следующим образом. Чем выше давление газа, тем больше его плотность и, следовательно, тем больше молекул участвует в переносе их кинетической энергии, но при этом они проходят меньшее расстояние между соударениями.

При постоянной плотности идеального газа в выражении (4.6.4) только средняя скорость зависит (как ) от температуры. Поэтому коэффициент теплопроводности идеального газа растет пропорционально . Однако опыт показывает, что растет с увеличением температуры несколько быстрее, чем , и притом неодинаково для разных газов. Объясняется это тем, что при постоянной плотности газа при повышении его температуры увеличивается средняя длина свободного пробега из-за уменьшения эффективного диаметра молекул (см. введение), а также растет удельная теплоемкость реального газа.

Для определения коэффициента теплопроводности чаще всего употребляется следующая экспериментальная установка. Исследуемым газом заполняется пространство между двумя коаксиальными цилиндрами с радиусами R₁ и R₂, при этом внутренним цилиндром служит проволока (подвешенная с грузом для ее натяжения), по которой пропускают ток, выделяющий в единицу времени энергию (I – ток, U – напряжение). При установившемся (стационарном) режиме температура проволоки T₁ постоянна и выше температуры T₂ внешнего цилиндра, находящегося в термостате. Тогда, согласно закону Фурье, количество тепла, проходящего в единицу времени через произвольную цилиндрическую поверхность площади (r – радиус цилиндра, l – его длина), равно

. (4.6.5)

В стационарном состоянии . Поэтому

. (4.6.6)

Откуда находим

. (4.6.7)

Интегрируя левую часть (4.6.7) в пределах от T₁ до T₂, а правую – от R₁ до R₂, получим

, (4.6.8)

где – среднее значение коэффициента теплопроводности на интервале (T1, T2). Измерив величины I, U, R1, R2, l, T1 и T2 можно вычислить коэффициент .