25. Распределение Максвелла для относительных скоростей (формула).
Закон Максвелла (1.10.35) можно записать в универсальном виде, исключив зависимость от температуры газа и массы его молекул. Для этого введем безразмерную относительную скорость
, (1.12.1)
где
– наиболее вероятная скорость молекулы.
Так как функция и
от υ
монотонно возрастающая, то плотность
распределения
находится
из равенства
(1.12.2)
Подставим функцию из (1.10.35) в (1.12.2)
(1.12.3)
Учитывая, что
,
и
,
из (1.12.2) получим
(1.12.4)
Плотность вероятности
называют законом Максвелла для
относительных скоростей. Эта функция,
как видно из (1.12.4), одинакова для всех
газов и не зависит от температуры.
26. Экспериментальная проверка распределения Максвелла (опыт Штерна, опыт Ламерта).
В 1920 г. О. Штерн разработал метод атомных (молекулярных) пучков и с его помощью экспериментально измерил скорость теплового движения молекул газа, а также проверил распределение Максвелла. Установка Штерна состояла из двух коаксикальных цилиндров, на оси которых находилась платиновая проволока, покрытая слоем серебра. (рис. 17). В приборе создавался высокий вакуум. При пропускании по проволоке тока она раскалялась и с ее поверхности испарялись атомы серебра, которые вылетали через узкую щель, проделанную во внутреннем цилиндре, и достигали стенки наружного цилиндра (в точке A на рис. 17).
Р и с.17
В результате образовывалась узкая серебряная полоска, являющаяся изображением щели. Затем весь прибор приводился во вращение вокруг оси цилиндров с постоянной угловой скоростью ω, при этом полоска смещалась в сторону противоположную вращению на величину ∆=AA′. Смещение возникало, потому что за время t пролета атомом серебра расстояния R-r цилиндр успевал повернуться на угол φ = Δ/R = ωt. Откуда определялось время t = ∆/ωR, знание которого позволяло найти скорость атома серебра через измеримые параметры опыта:
.
Как следовало ожидать, полоска серебра в положении А′ оказывалась размытой из-за того, что атомы серебра имеют разные скорости: более быстрым атомам соответствуют меньшие, а более медленным – большие смещения Δ. Исследуя зависимость плотности серебра в размытой части от расстояния до точки A, нетрудно оценить распределение атомов серебра по скоростям. Полученное распределение хорошо согласовывалось со значениями, вычисленными по формуле (1.10.35).
Более совершенный метод по проверке закона Максвелла был реализован в 1929 г. Ламертом. В высоком вакууме вращаются, насаженные на общую ось, два круглых диска 1 и 2 с радиальными узкими прорезями (рис. 18), смещенными друг относительно друга на угол φ. Напротив прорези диска 1 находилась тигельная печь 3 с исследуемым веществом и диафрагма 4. Вся установка приводилась во вращение с постоянной угловой скоростью. Очевидно, атомы, вылетевшие со скоростью υ из печи, достигают мишени 5, если время их пролета расстояния между дисками t1 = l/υ совпадает со временем t2 поворота диска 2 на угол φ, т.е. t2 = φ/ω. Из условия t1 = t2 находим υ = lω/φ. Меняя угловую скорость вращения ω, можно выделить атомы с различными скоростями. Улавливая атомы, движущиеся с различными скоростями в течение равных промежутков времени, можно по толщине (плотности) осадка на мишени определить их относительное количество в пучке и тем самым проверить закон распределения Максвелла. Обработка экспериментальных результатов, полученных на установке Ламерта, показала полное согласие их с законом Максвелла.
Р и с. 18