8. Интегральная функция распределения. Случайные величины. Интегральная функция распределения случайной величины и её свойства.

О п р е д е л е н и е. Случайной величиной Х называют величину, которая в результате опыта принимает то или иное значение, заранее неизвестно какое.

О п р е д е л е н и е. Интегральной функцией распределения Ф(х) называется вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее х, т. е.

(А15)

.

Свойства функции Ф(x):

1. Функция Ф(х) – неубывающая функция своего аргумента, т. е. если х₂ > х₁, то .

(А16)

2. .

(А17)

3. .

4. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение на интервале от до , равна приращению функции на этом интервале,

т. е.

(А18)

5. .

9. Плотность вероятности и её свойства.

По определению производной интегральной функции распределения

(А19)

.

В числителе правой части последнего выражения стоит вероятность, что случайная величина примет значение на интервале Δх, лежащем возле точки х. Ясно, что эта вероятность зависит от того, где взять эту точку х, т. е.

.

Если эту величину разделить на Δх и устремить Δх к нулю, то получим плотность вероятности (по аналогии линейной плотности массы, “размазанной” по оси х) случайной величины Х в точке х. Таким образом, если обозначить плотность вероятности ω(х), то из (А19)

(А20)

.

Отметим некоторые полезные свойства плотности вероятности ω(х).

1.

2. .

3. Чтобы найти вероятность принять случайной величине значение из интервала ( , β), необходимо проинтегрировать плотность ω(х) на этом интервале, т. е.

(А22)

.

10. Средние значения случайных величин. (математическое ожидание). Среднее по времени и среднее по ансамблю. Эргодическая гипотеза (без доказательства).

Среднее значение является важнейшей, хотя и грубой, характеристикой случайной величины X. Она характеризует среднее, ориентировочное значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины. Чтобы установить правило, по которому её вычисляют, рассмотрим сначала дискретную случайную величину X, характеризуемую рядом распределения

xi	x1	x2	…	xn
P(xi)	P(x1)	P(x2)	…	P(xn)

где x_i – возможные значения, которые принимает на опыте случайная величина X, а P(x_i) – их вероятности появления.

Пусть произведено большое число N измерений случайной величины Х так, что значение x₁ было наблюдено т₁ раз, х₂ – m₂ раз,...x_n – m_n раз. При этом

.

Среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины X равно:

(А23)

,

где  величина, характеризующая, как часто принимает в опыте значение x_i случайная величина X. Величину называют частотой события x_i. Дальше будет доказано, что частота с вероятностью почти единица (т. е. достоверно) равна вероятности , если только число опытов (Теорема Бернулли). С учётом этой теоремы равенство (А23) можно переписать в виде:

(А24)

.

Величину (А24) называют средним значением случайной величины Х и обозначают . Таким образом, среднее значение дискретной случайной величины Х равно сумме произведений каждого из ее возможного значения x_i на его вероятность Р(х_i).

В случае непрерывной случайной величины Х нетрудно получить аналогичное выражение для вычисления ее среднего значения:

(А25)

.

Свойства среднего значения

1. Среднее от неслучайной величины c = const равно значению этой величины, т. е.

(A.30)

2. Еcли с - неслучайная величина, а X - случайная, то

, (A.31)

т. е. постоянную можно выносить за знак среднего значения.

3. Среднее от суммы двух случайных величин равно сумме иx средних значений, т. е.

áX + Yñ = áXñ + áYñ. (A.32)

4. Среднее от произведения двух независимых случайных величин равно произведению их средних значений.

. (A.37)

Весьма существенно, что это равенство имеет место только для независимых случайных величин.