6. Понятие вероятности. (Частотное и априорное определения вероятности события.)

Под событием в теории вероятностей понимают всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Разные события имеют разную возможность наступить. Чтобы количественно сравнить события по степени возможности наступить, с ними связывают определенные числа, называемые вероятностью события, которое тем больше, чем более оно возможно. В качестве единицы измерения вероятности естественно принять вероятность достоверного события, т. е. такого события, которое в результате опыта наступает всегда. Так же естественно невозможному событию, т. е. событию, которое в данном опыте никогда не наблюдается, приписать вероятность равную нулю. Таким образом, по определению, диапазон изменения вероятностей – [0,1], т. е. вероятность возможного, но недостоверного события А

(А1)

,

где буквой Р обозначена вероятность события А.

Введем некоторые вспомогательные понятия.

1. Говорят, что события А₁, ..., А_n образуют полную группу, если в результате опыта обязательно наблюдается одно из них.

2. События А₁, ..., А_n называют несовместными, если никакие два из них не могут произойти вместе.

3. События А₁, ..., А_n называют равновозможными (равновероятными), если по условиям симметрии опыта следует считать, что ни одно из этих событий не имеет объективного предпочтения перед другим в возможности наступить.

Если выполнены все условия, ситуация называется схема случаев.

Вероятность каждого из исходов (событий можно вычислить по формуле

(А2)

,

где m – число случаев, благоприятных событию А, а n – общее число всех возможных случаев.

7. Некоторые теоремы теории вероятности. (Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условие нормировки вероятностей.)

Определение: Суммой С = А + В двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е.

(А3)

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Доказательство проведем для событий, составляющих схему случаев.

Пусть возможные исходы опыта сводятся к совокупности случаев, которые мы для наглядности изобразим в виде n точек.

С л е д с т в и е 1. Если события А₁,..., А_n образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице

(А7)

О п р е д е л е н и е. Противоположными событиями и называют два несовместных события, образующих полную группу.

Сумма вероятностей противоположных событий на основании следствия 1, очевидно, равна единице, т. е.

(А10)

.

О п р е д е л е н и е. Событие А называют независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того произошло событие В или нет, т. е.

(А11)

Р(А/В) = Р(А).

В выражении (А11) Р(А/В) – есть вероятность события А при условии, что событие В имело место. Говорят, что Р(А/В) условная вероятность события А.

О п р е д е л е н и е. Произведением двух событий А и В называется событие, состоящее в совместном (или одновременном) появлении этих двух событий.

Теорема 2. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие имело место:

(А12)

Р(А, В) = Р(А)Р(В/А).

Докажем теорему 2 для событий, сводящихся к схеме случаев. Пусть возможные исходы опыта сводятся к n случаям, которые изобразим в виде точек

(А13)

.

Вычислим Р(В/А), т. е. условную вероятность события B в предположении, что А имело место. Если известно, что событие А произошло, то из ранее возможных n случаев остаются возможными только те m случаев, которые благоприятствовали событию А. Из них l случаев благоприятны событию В. Поэтому

(А14)

.

Подставляя (А13) и (А14) в (А12) получим тождество. Теорема доказана.

С л е д с т в и е 1. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Следствие 1 непосредственно вытекает из определения независимости событий Р(В/А) = Р(В) и теоремы 2.