3.3 Метод корреляции.

Корреляционные расчеты при изучении связи следствия с одной или несколькими причинами дополняют регрессию. При расчете регрессии влияние второстепенных причин исключают, чтобы подчеркнуть влияние основных причин, сущность связи. При корреляционном расчете исходят из реальной картины проявления связи, отделяют влияние основных причин от второстепенных, используя данные о распределении, обусловленном всеми причинами. При регрессивном анализе связь характеризуют коэффициентами ( а и b) регрессии, по уравнению регрессии подсчитывают теоретические знания. При корреляционном анализе связь характеризуют показателем, который определяет тесноту (интенсивность) связи. Корреляционные расчеты проводят в следующих целях:

1. Проверить, насколько эффективно уравнение регрессии представляет (модулирует) связь.

2. Достаточно ли в уравнении регрессии учтены основные причины, учитывая их силу влияния на следствие, чтобы путем регрессии отразить суть связи, или для рассмотрения связи необходимо привлечь другие причины для раскрытия более тесной связи.

3. При корреляционных расчетах следует учитывать особенности связи явлений, так как они влияют на содержание и смысл показателя.

При непосредственной коррелиции исследуемые параметры находятся в отношении «причина- следствие», например зависимость гидродинамического сопротивления от вязкости крови. При косвенной корреляции оба исследуемых параметра зависят от третьего, например, от наличия концентрации аспирина в крови. При ложной корреляции исследуемые параметры не связаны друг с другом. Путем корреляционных расчетов по числовым данным о параметрах можно получить показатель, который стимулирует связь, в действительности не существенную, например, связь гидродинамического сопротивления кровеносной системы со скоростью распространения света в среде. Показателями корреляции являются мера определенности и коэффициент корреляции. Мера определенности имеет целью количественно оценить тесноту связи относительной величиной. Исходным для установления меры определенности является дисперсия теоретической величины Y относительно средней, т.е.

(3.12)

Этот показатель вариации сопоставляется с общей вариацией исходного распределения и получают меру определенности:

B= , (3.13)

где Y_i – значение, рассчитанное по уравнению регрессии,

y_i- экспериментальные значения,

-среднее значение, рассчитанное по экспериментальным данным.

Общая вариация включает отклонения эмпирических величин от теоретических и отклонения теоретических величин от средней.

Так как вариация теоретических величин относительно средней, называемой вариацией по линии регрессии, является только частью всей вариации эмпирических величин, мера определенности может находиться только в интервале 0 . Чем ближе он к единице, тем лучше избранная функция подходит для описания действительной связи. Если мера приближается к нулю, то никакой связи нет или она очень сильно нарушена. Меру определенности можно рассчитывать и по вариации эмпирических величин относительно рассчитанных по уравнению регрессии:

Если этот показатель вариации сравнить с общей вариацией, то получим меру неопределенности:

(3.14)

Из сказанного о составе общей вариации эмпирических величин следует, что B+U=1. Следовательно, меру определенности можно рассчитать и с использованием следующего выражения:

(3.15)

Коэффициент корреляции r рассчитывают из меры определенности, извлекая из нее положительный корень, т.е.

r 1

а) (3.16)

r<1 или

б) (3.17)

r=0

в)

Рис. 3.1 Корреляционная связь

Из тесной связи коэффициента корреляции с мерой определенности следует, что в отличие от меры определенности он является линейным показателем тесноты между причиной и следствием.

Коэффициент корреляции – это вариационный безразмерный коэффициент, который может принимать значение . Чем ближе коэффициент к единице, тем теснее связь, и наоборот (рис.3.1 а, б, в). Положительное значение коэффициента r (рис. 3.1 а-1) или отрицательное (рис. 3.1 а -2) характеризуют направление корреляционной зависимости. Его, как и меру определенности, можно рассчитать и для линейных и для нелинейных связей. Поэтому он применим независимо от типа функции.

Коэффициентом корреляции пользуются для того, чтобы получить сведения о зависимости следствия от различных причин, и чтобы применить как основную. Если для регрессионных расчетов использовано несколько типов функции лучше описывает связь.

Множественный регрессионный и корреляционный анализ соответствует объективно существующему взаимодействию многих причин (х_i), которые вместе определяют величину следствия у.

Так, например, с двумя основными причинами при линейной связи функция регрессии будет иметь вид:

(3.18)

Коэффициенты a, b₁, b₂ находятся методом наименьших квадратов.

При линейной множественной корреляции исходят из парных коэффициентов корреляции и получают:

(3.19)

где - множественный коэффициент корреляции, который измеряет связь между тремя явлениями.