Лекция № 3 методы численного анализа причинно-следственных связей.

1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ МЕТОД.

2. МЕТОД РЕГРЕССИИ.

3. МЕТОД КОРРЕЛЯЦИИ.

4. АНАЛИЗ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЭЛАСТИЧНОСТИ.

Для того чтобы оценить силу связей между причиной и следствием необходимо провести количественный анализ. Численно связь между причинной и следствием можно оценить, используя элементарный метод, метод регрессии, метод корреляции или при помощи показателей эластичности.

Рассмотрим каждый из указанных методов.

0. Элементарный метод.

Элементарный метод дает приближенное, глазомерное представление о связи, только общую ориентацию. Для анализа необходимо использовать методы измерения связи.

Чтобы получить первое представление о связи, проводят параллельное сравнивание двух или нескольких рядов.

Временным рядом называют множество результатов наблюдений изучаемого процесса, проводимых последовательно во времени. Выделим два таких ряда, которые дают количественную характеристику потребления реланиума и позволяют сделать некоторые количественные и качественные выводы.

1.Динамика потребления реланиума в клинике в период с 1981 года по 1985 год.

t, год	1981	1982	1983	1984	1985
Х(t),тыс.ампул	15	14,8	14,9	15,1	14,95

2.Динамика потребления реланиума в клинике в период с 1991 г. о 1995 г.

t, год	1991	1992	1993	1994	1995
Х(t),тыс.ампул	21	30	42	50	58

Цель параллельного сравнения рядов – определить направление связи и получить представление о форме связи и о ее нарушениях, если они имеют место. Параллельное сравнение не будет наглядным, если ряды слишком длинные. В таких случаях целесообразно сгруппировать исходные данные. Группировка занимает центральное место в статистическом исследовании. С помощью метода группировок отражаются объективно существующие виды и формы и другие стороны изучаемых явлений, множество отдельных данных можно сделать более наглядными.

Благодаря группировке ряды уплотняются, и связь проявляется сильнее. Таким образом, сравнение сгруппированных рядов – это более высокий этап элементарного метода.

0. Метод регрессии

Регрессивный метод – это метод измерения связи между одной или несколькими причинами и следствием. Регрессивный анализ часто ограничивается простой связью между одной причиной и одним следствием. Связь можно представить и комплексно при помощи множественной регрессии, как связь между следствием и двумя или многими причинами.

Регрессивный анализ включает следующие этапы:

1.Определение типа функции.

2.Определение и проверка коэффициентов регрессии.

3.Расчет значений функции для отдельных значений аргумента.

4.Исследование рассеяния по отклонениям расчетных значений от эмпирических данных.

Решающим этапом регрессивного анализа является определение типа функции, т.к. от этого зависит, правильно ли алгебраическое уравнение отражает сущность связи между явлениями. Для правильного определения типа функции необходимо из эмпирических данных получить ответ на следующие вопросы: каково направление связи; изменяется ли направление связи в исследуемой совокупности; имеет связь линейный характер; стремится ли связь к точке насыщения, т.е. к такой точке, где величина (у), больше не изменяется в зависимости от изменения причины (х). Особенно полное представление о связи дают графические изображения, которые позволяют установить форму и направление связи.

Метод наименьших квадратов. Параметры уравнения регрессии по эмпирическим данным определяют методом минимализации суммы квадратов отклонений (ошибок) Гаусса. Этот метод позволяет выбрать суммы квадратов рассматриваемого типа ту функцию, которая с полученными при его помощи параметрами подходит лучше всего для описания рассматриваемой регрессионной зависимости и согласования ее результатов с опытными данными.

Отклонения, о которых идет речь – это разности между эмпирическими (у_i) и расчетными (теоретическими) величинами ( Y_i). Нужно так определить параметры функции Y= f(x), чтобы была минимальной. То есть ставится вопрос: сумма квадратов отклонений должна быть минимальной

(3.4)

или

(3.5)

Это условие получило название метода наименьших квадратов (МНК).

При определении неизвестных параметров уравнения регрессии МНК необходимо выполнить следующие операции:

1. Вместо функции f(x) взять избранный тип функции ( уравнение регрессии).

2. Уравнение регрессии продифференцировать в частных производных по переменным a, b, c и т.д. и приравнять их к нулю. Для доказательства, что имеется минимум, можно найти вторую производную, которая должна быть больше нуля, что и является подтверждением того, что минимум существует.

3. Первые производные, приравненные к нулю, необходимо преобразовать в уравнения, которые называют нормальными и которые применяются для определения параметров (коэффициентов) регрессии.

4. Из системы нормальных уравнений параметры (коэффициенты) уравнения регрессии определяются методом подстановки или методом детерминантов (определителей).

5. Параметры всех рациональных функций определяются выше указанным образом. В функциях, где все параметры связаны как множители (например, в показательной функции), вместо исходных величин подставляют их логарифмы, что позволяет свести функцию к линейной.

Формулы для вычисления параметров уравнения простой линейной регрессии методом наименьших квадратов выводят следующим образом.

Используя уравнение линейной регрессии

Y= f(x)=a +bx

находим сумму квадрата разности

Дифференцируем последнее выражение по a и b и первые частные производные приравниванием к нулю:

, (3.6)

(3.7)

Отсюда следует, что нормальные уравнения можно представить в виде:

(3.8)

(3.9)

Из уравнения (3.8) находим, что

a= (3.10)

с использованием уравнений (3.9) и (3.10) находим:

b= (3.11)

где - среднее значение переменной х,

- среднее значение переменной у.

По уравнениям (2.10) и (2.11) определяются параметры (коэффициенты) уравнения регрессии, при этом используются следующие данные: , , , , , которые являются результатом статистических исследований и для которых составляется таблица, расположенная ниже, для некоторой причины х и следствия у, подчиняющихся линейной регрессии.

6,300		100	630,0	10000	6,366667	-0,666670	0,004444
6,250		120	750,0	14400	6,277976	-0,027976	0,000793
6,350		140	889,0	19600	6,189286	-0,160740	0,025829
6,150		160	984,0	25600	6,100595	-0,049405	0,002441
6,000		180	1080,0	32400	6,011905	-0,011905	0,000142
5,750		200	1150,0	40000	5,923214	-0,173214	0,030003
5,850		220	1287,0	48400	5,834524	-0,015476	0,000239
5,800		240	1392,0	57600	5,745833	-0,054167	0,000934
	48,5000	1360	8162,000	248,000	48,450000	0,000000	0,066815

Так как

b=

имеем

b =

соответственно: a = и

a= 6,0625 – (-0,00435)

Следовательно, уравнение регрессии с определенными параметрами (коэффициентами) a и b примет вид:

Y = 6,810200 – 0,004435 x_i