§ 4.4. Закон нормального распределения (закон гаусса)

Закон нормального распределения, часто называемый законом Гаусса, имеет весьма важное значение в теории вероятностей и в математической статистике и занимает среди других законов распределения особое положе­ние. Главная особенность закона Гаусса состоит в том, что этот закон распре­деления наиболее часто встречается на практике; и в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределе­ния при весьма часто встречающихся типичных условиях. Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида:

(4.7)

Кривая распределения по закону Гаусса имеет симметричный холмообразный вид (Рис 4.3). Максимальная ордината соответствует точке х = .

f(x)

x

Рис. 4.3 Плотность распределения по закону Гаусса

По мере удаления от указанной точки плотность распределения при асимптотически приближается к оси абсцисс.

Выясним смысл числовых характеристик и , входящих в уравнение (4.7). Докажем, что в указанном уравнении величина есть математиче­ское ожидание, а величина а - среднее квадратичное отклонение случайной величины X.

Используя выражение (4.7) можно записать:

(4.8)

Введем новую переменную

(4.9)

получим:

(4.10)

Нетрудно убедиться, что первый интеграл в уравнении (10) равен нулю, а второй представляет собой интеграл Эйлера-Пуассона:

(4.11)

Следовательно, М[Х] = , т.е. величина представляет собой математическое ожидание случайной величины X. Величина дисперсии случайной величины X определяется выражением:

(4.12)

Введем новую переменную (4.9), получим:

(4.13)

Интегрируя по частям, придем к результату:

(4.14)

Первое слагаемое в уравнении (4.14), находящееся в квадратных скобках, равно нулю, т.к. при t убывает быстрее, чем возрастает любая степень t. Второе слагаемое, как это следует из выражения (4.11), равно , таким образом, из уравнения (4.14) следует, что

D[X] = (4.15)

Следовательно, параметр в формуле (4.7) является средним квадратич­ным отклонением случайной величины X.

Параметр характеризует форму кривой распределения. Так как площадь кривой распределения всегда должна оставаться равной единице, то при уве­личении кривая распределения становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс (рис. 4.3)

Из выражения (4.7) видно, что центром симметрии распределения явля­ется центр рассеивания . Это ясно из того, что при изменении знака раз­ности (х - ) на обратный выражение (4.7) не меняется. Если изменять центр рассеивания , то кривая распределения будет смещаться вдоль оси абсцисс, не изменяя своей формы. Центр рассеивания характеризует положение рас­пределения на оси абсцисс. Размерность центра рассеивания и параметра совпадает с размерностью случайной величины X.

Для нормального закона в качестве характеристики рассеивания иногда вместо среднего квадратичного отклонения используется мера точности. Ме­рой точности называется величина, обратно пропорциональная :

(4.16)

Используя меру точности h, закон нормального распределения можно за­писать в виде:

(4.17)

Размерность меры точность обратна размерности случайной величины.

Используя уравнение (4.7), интегральную функцию распределения случайной величины Х можно представить в виде:

(4.18)

Интеграл (4.18) не может быть выражен через элементарные функции.

Используя интегральную функцию Лапласа

(4.19)

выражение (4.18) можно привести к виду:

(4.20)

Интегральная функция Лапласа нечетная:

Вероятность, что полученная в измерениях величина х попадает в интервал (a,b) на основании формул (4.18-4.20) равна

(4.21)

Рис. 4.4

Геометрически выражение (4.21) отражает тот факт, что вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает значения, принадлежащие интервалу (а, b), равна площади криволинейной трапеции ограниченной осью Ох, кривой распределения f(x) и прямыми х=а, х=b. (Рис.4.4). Согласно (4.21), доверительная вероятность того, что случайная величина Х попадает в интервал ( ), будет равна:

или . Функция , а в данном случае определяется по таблице |11|.

f(x)

-3 x

Рис. 4.5 «Правила 3 ».

Аналогичный расчет показывает, что вероятность нахождения случайной величины в интервале ( ) равна 0,9544 или =95,44%, соот­ветственно в интервале вероятность равна 0,9972 или =99,72%. Анализ показывает, что случайная величина, распределенная по нормальному закону, практически не отклоняется от центра распределения более чем З , поскольку вероятность нахождения ее в интервале значений ( ± 3 ) равно 0,9972=1, т.е. нахождение случайной величины в указанном интервале есть практически достоверное событие. Таким образом, если слу­чайная величина распределена по нормальному закону, то отклонение этой величины от среднего значения по абсолютной величине не превосходит ут­роенного среднего квадратичного отклонения. Это утверждение известно в статистике как "правило З " (Рис.4.5)

Для определения функции Лапласа А.Е. Шелест предлагает следующее

приближенное уравнение:

(4.22)

где

Используя ЭВМ в режиме непосредственного исполнения, можно быстро вычислить значение функции