Характеристики разброса.

Дисперсия (D) - это математическое ожидание квадрата отклонения слу­чайной величины от ее среднего значения:

для дискретной случайной величины

(3.16)

для непрерывной случайной величины

(3.17)

Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеивания, раз­бросанности значений случайной величины около ее математического ожи­дания. Само слово "дисперсия" означает "рассеивание". Дисперсия случай­ной величины имеет размерность квадрата размерности случайной величины. Для практических целей удобнее использовать характеристику разброса, раз­мерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученную величину называют средним квадратическим отклонением или стандартным отклонением случайной величины X, которое обозначают [Х] или . Таким образом, стан­дартное отклонение для серии из п измерений можно представить в виде:

(3.18)

Теперь представим, что данные случайной величины набираются серия­ми по п измерений в каждой, причем число таких серий очень велико. В каж­дой серии имеется свое собственное [Х], и совокупность всех таких средних характеризуется своим распределением со среднеквадратичным отклонением _т. Величину _т называют среднеквадратичным отклонением среднего. Величины и < _т связаны простым соотношением:

(3.19)

т.е. среднеквадратичное отклонение среднего из n измерений в меньше среднеквадратичного отклонения отдельного измерения.

Моменты. Характеристики формы.

Кроме характеристик положения, используемых в теории вероятностей и в математической статистике, употребляются и другие характеристики, кото­рые описывают то или иное свойство распределения. В качестве таких харак­теристик используются так называемые моменты.

Понятие момента широко применяется в механике для описания рас­пределения масс (статические моменты, моменты инерции и т.д.). Для описа­ния основных свойств распределения случайной величины используются те же приемы, что и в механике. Чаще всего на практике применяют моменты двух видов: начальные и центральные. Начальным моментом s-гo порядка дискретной случайной величины X называется сумма вида:

(3.20)

для непрерывной случайной величины

(3.21)

Отклонение случайной величины X от ее математического ожидания

X^S = Х-

называют центрированной случайной величиной. Центрирование слу­чайной величины равносильно переносу начала координат в среднюю (цен­тральную) точку, абсцисса которой равна математическому ожиданию.

Нетрудно убедиться, что математическое ожидание центрированной слу­чайной величины равно нулю:

(3.22)

Моменты центрированной случайной величины носят название цен­тральных моментов. Таким образом, центральным моментом порядка S случайной величины X называется математическое ожидание S-й степени соответствующей центрированной случайной величины:

М[Х] = M[X^S] = М[(х - )^s]

Для дискретной случайной величины центральный момент имеет вид:

(3.23)

а для непрерывной случайной величины:

(3.24)

Таким образом, в зависимости от значения S мы получаем:

при S=l первый центральный момент M_i=0;

при S=2 второй центральный момент, который называется дисперсией случайной величины M₂=D[X];

при S=3 третий центральный момент, который служит для характерис­тики асимметрии распределения, определяемый выражениями:

для дискретной случайной величины

(3.25)

для непрерывной

(3.26)

при S=4 четвертый центральный момент, используемый для характерис­тики крутизны распределения. Момент М₄ вычисляют для дискретной слу­чайной величины по формуле:

(3.27)

для непрерывного распределения он равен

(3.28)

К характеристикам формы относятся:

1.Коэффициент асимметрии (S_k), который характеризует степень не­ симметричности (скошенности) распределения. Он определяется через третий центральный момент М₃ по формуле:

(3.29)

Для всех симметричных распределений S_k=0. При S_k>0 мода распре­деления находится слева, а при S_k<0 - справа от математического ожидания.

2.Эксцесс(&)- служит характеристикой крутости, т.е. островершинности или плосковершинности распределения. Его определяют через четвертый центральный момент М₄ по формуле:

(3.30)

При всех >0 распределение более острое, чем нормальное; при <0 распределение менее острое, чем нормальное.

Пример 1. Беспроигрышная лотерея на 200 выигрышей состоит из одно­го выигрыша на 100 руб., 5 выигрышей по 20 руб., 10 выигрышей по 5 руб., 184 выигрыша по 2 руб. Определить справедливую цену одного билета.

Решение. Определим вероятность каждого выигрыша: вероятность выигрыша 100 руб.

вероятность выигрыша 20 руб.

вероятность выигрыша 5 руб.

вероятность выигрыша 2 руб.

Справедливая цена билета равна математическому ожиданию или среднему значению, т.е.

Подставив численные значения в последнее выражение, получим:

руб

Ответ: справедливая цена билета 3,09 руб.

Пример 2. Производится 3 независимых выстрела по мишени. Вероят­ность попадания при каждом выстреле равна 0,4. Случайная величина X -число попаданий. Определить характеристики величины X - математическое ожидание, дисперсию, с.к.о., асимметрию.

Решение. Ряд распределения случайной величины X имеет вид:

xi	0	1	2	3
Pi	0,216	0,432	0,288	0,064

Вычислим числовые характеристики величины Х:

0 0,16+1 0,432+2 0,288+3 0,0,064=1,2