Свойства интегральной функции распределения.

1.Функция F(x) есть неубывающая функция своего аргумента х ,т.е.

2.На концах интервала возможных значений х функция F(x) принимает значения 0 и 1, например, если концы интервала а и b (а < b), то

F(a) = 0, F(b)=l;

Заметим, что функция распределения F(x) является непрерывной и диф­ференцируемой только в случае если х будет непрерывной случайной ве­личиной.

Свойства дифференциальной функции распределения.

1. Функция f(х) неотрицательна, т.е.f(х) 0.

2.Площадь под кривой f(x) равна единице, т.е.

3. Определение F(x) через f(x):

§ 3.2. Числовые характеристики случайных величин.

Каждый закон распределения представляет собой некоторую функцию, а указание этой функции полностью описывает случайную величину с вероят­ностной точки зрения.

Во многих практических вопросах нет необходимости характеризовать случайную величину досконально, а достаточно бывает указать только от­дельные числовые параметры, до некоторой степени характеризующие суще­ственные черты распределения случайной величины. Например, среднее зна­чение, около которого группируются возможные значения случайной вели­чины, и какое-либо число, характеризующее степень разбросанности этих значений относительно среднего.

Характеристики, назначение которых заключается в том, чтобы с их ис­пользованием выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения, называются числовыми характеристиками случайной величи­ны.

Характеристики положения.

Среди числовых характеристик случайных величин нужно прежде всего отметить те, которые характеризуют положение случайной величины на чи­словой оси, т.е. указывают некоторое среднее, около которого группируются все возможные значения случайной величины. К таким характеристикам от­носятся математическое ожидание, мода и медиана.

Из характеристик положения в теории вероятностей важнейшую роль иг­рает математическое ожидание случайной величины, которое иногда назы­вают просто средним значением случайной величины. Рассмотрим дискрет­ную случайную величину X, имеющую возможные значения веро­ятности которых равны P_l,P₂...Р_n. Для определения характеристики точки положения воспользуемся так называемым "средним взвешенным" из значе­ний x_i причем каждое значение х_i при осреднении должно учитываться с "ве­сом", пропорциональным вероятности этого значения. Таким образом, сред­нее значение случайной величины X, которое обозначим символом M[X], будет определяться выражением:

(3.13)

т.к. следовательно,

Выражение (3.13) и называется математическим ожиданием случайной величины (центр распределения случайной величины). Таким образом, мате­матическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значе­ний. Допустим, что при большом количестве п испытаний дискретная слу­чайная величина X принимает значения соответственно раз. Тогда среднее значение случайной величины можно определить сле­дующей формулой:

(3.14)

Если п велико, то относительные частоты приблизительно равны вероятностям Р₁, Р₂, ..., Р_n появления случайных величин x₁, x₂,..., x_n, что позволяет сделать заключение: при больших значениях числа п среднее значение случайной величины мало отличается от математического ожи­дания M[X].

Между М[Х] и X такая же связь, как между математической вероятнос­тью и частотой события. Формула (3.13) для математического ожидания со­ответствует случаю дискретной случайной величины. Для непрерывной слу­чайной величины X математическое ожидание выражается уже не суммой, а интегралом:

(3.15)

где f(х) плотность распределения величины X.

Формула (3.15) получается из формулы (3.13), если в ней заменить от­дельные значения x_i непрерывно изменяющимся параметром х, соответствую­щие вероятности P_i - элементом вероятности f(x)dx, а конечную сумму - инте­гралом.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1.Математическое ожидание постоянной величины С равно этой постоянной, т.е. М[С]=С

2.Постоянный множитель к можно вынести за знак математического ожидания, т.е. M[kX]=kM[X]

3.Математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий, т.е. M[X±Y]=M[X]±M[Y]

4.Математическое ожидание х произведения независимых случай­ных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M[XּY]=M[X]ּM[Y].

5.Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания всегда равно нулю, т.е. М[Х-М[Х]]=0

6. Математическое ожидание числа появлений события X в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании, т.е. М[Х]=nР.

f(x)

а ) б)

M₀ x

Рис. 3.2.

Кроме важнейшей из характеристик положения - математического ожи­дания, на практике применяются и другие характеристики положения слу­чайной величины, в частности мода и медиана. Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Условно моду обозначают сим­волом М_о (рис. 3.2 а) и записывают следующим образом:

M₀[X]=X_i(P_{i max})

Термин "наиболее вероятное значение",строго говоря, приемлем только к дискретным величинам. Для непрерывных величин модой является то значение, в котором плотность вероятности достигает максимального значения. Для непрерывной случайной величины мода определяется по формуле: df(x)/ax = 0

Медианой случайной величины X называется такое ее значение Me, для которого р(Х Ме)=р(Х>Ме) или F{Me[X]}=0,5, т.е. равновероятны. Геомет­рически медиана - это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кри­вой распределения, делится пополам (рис.2 б). В случае симметричной кри­вой распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой. Медианой обычно пользуются только в том случае, когда проводится анализ непрерывных случайных величин.