Упражнения

№1. На книжной полке в случайном порядке стоит энциклопедический справочник, состоящий из 5 томов. Какова вероятность того, что хотя бы один из томов этого справочника стоит не на своем месте?

Ответ: 119/120

№2. Среди 17 студентов, из которых 8 девушек, разыгрывается 7 билетов. Определить вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 4 девушки.

Ответ:

№3. В некоторую больницу поступают пациенты с четырьмя видами бо­лезней. Многолетние наблюдения показывают, что этим группам заболеваний соответствуют вероятности: 0,1; 0,4; 0,3; 0,2. Для лечения заболеваний с ве­роятностью 0, 1 и 0,2 необходимо переливание крови. Какое количество больных следует обеспечить кровью, если в течение месяца поступило 1000 больных?

Ответ: 300.

№4. Исходя из многолетних наблюдений, вызов врача в некоторый дом оценивается вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что из 5 вызовов вра­ча 2 вызова будут в указанный дом.

Ответ: 0,336.

№5. При обследовании пациентов в результате измерения артериального давления врач должен поднять давление в сфигмоманометре до 220 мм рт. ст. В результате наличия слабых мест в манометре, манжете и в выпускном кла­пане сфигмоманометр при первом подъеме давления может выйти из строя с вероятностью 0,4; при втором - с вероятностью 0,5 и при третьем - 0,7. Для вывода сфигмоманометра из строя заведомо известно, что достаточно трех поднятий давления до указанного предела. При измерении давления у перво­го пациента сфигмоманометр выходит из строя с вероятностью 0,2, при одно­кратном поднятии давления. У второго пациента с вероятностью 0,6 при двухкратном поднятии давления. Найти вероятность того, что сфигмомано­метр выйдет из строя при измерении давления у третьего пациента в резуль­тате трехкратного поднятия давления до указанного предела.

Ответ: 0,458.

№6. Два студента независимо один от другого должны определить кон­центрацию сахара в биологической жидкости с помощью рефрактометра. На выполнение этого задания каждый из них получил по одному допуску. Веро­ятность провести исследование у первого студента равна 0,8, для второго -0,4. Преподаватель зарегистрировал один приход. Найти вероятность того, что исследование провел первый студент.

Ответ: 6/7.

№7. Студент Петров знает не все экзаменационные билеты. Что для него выгоднее: отвечать первым или вторым? Число билетов 30, из них Петров

знает 25.

Ответ: подумайте!

№8. Появление колонии микроорганизмов данного вида в определенных условиях оценивается вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что в 6 про­бах данная колония микроорганизмов появится четыре раза.

Занятие № 3 случайные величины и их основные характеристики.

§ 3.1. Случайная величина. Функция распределения.

В теории вероятностей и в математической статистике приходится опе­рировать представлением о случайной величине, которая является одним из основных понятий в указанных разделах математики. Величина, которая в результате опыта может принимать различные числовые значения с опреде­ленной вероятностью, называется случайной.

Примерами случайных величин являются:

• число студентов, присутствующих на лекции;

• число вызовов, поступивших на станцию скорой помощи за сутки;

• число детей, родившихся в городе за прошедшие сутки, и другие слу­чайные величины.

Во всех трех приведенных примерах случайные величины могут прини­мать отдельные, изолированные значения, которые можно заранее перечис­лить. Эти значения: 0,1,2,3 ...

Случайные величины, принимающие только отдельные друг от друга (изолированные значения, которые заранее можно перечислить), называются прерывными или дискретными случайными величинами.

Существуют случайные величины другого вида, например:

• вес наугад взятого зерна пшеницы;

• температура человека, болеющего гриппом;

• давление атмосферы на заданном уровне;

- количество энергии, выделяемое биологическим объектом за сутки и

т.д.

Возможные значения таких случайных величин не отделены друг от дру­га. Они непрерывно заполняют некоторый промежуток, который иногда име­ет резко выраженные границы, но чаще - неопределенные, расплывчатые гра­ницы.

Случайные величины, возможные значения которых непрерывно запол­няют некоторый промежуток, называют непрерывными случайными вели­чинами.

Можно сказать, что случайные величины, которые принимают непрерыв­ный ряд значений, называются непрерывными. Совокупность непрерывных величин образует собой непрерывное множество или континуум. Изучая про­цессы, связанные со случайными явлениями, приходится встречаться и с так называемыми случайными величинами. Например, при определении вязкости жидкости методом Стокса студенту приходится измерять микрометром ди­аметр шарика в различных диаметральных точках и при этом получать ре­зультаты в виде следующих цифр: 2,85; 2,90; 2.79; 2,81 ... в силу, например, неабсолютной сферичности шарика. Результаты измерений можно считать значениями случайной величины, с вероятностями соответственно Р₁, Р₂, Р₃,Р₄… Для задания случайной величины нужно указать не только ее возмож­ное значение, но и вероятность, с которой она их принимает. Разнообразие случайных величин очень велико хотя бы потому, что множество принимае­мых ими значений может быть конечным, счетным, т.е. таким, что все значе­ния можно перенумеровать с помощью последовательных целых чисел, за­полняющих целый отрезок, интервал и т.д.

Для того чтобы задавать случайные величины, и притом задавать их еди­ным способом, в теории вероятностей введено понятие функции распределе­ния. Вероятность появления случайной величины в малом интервале значе­ний последней от х до х + х зависит от выбранного значения х, т.е. она есть функция f(x). Чем шире интервал х, тем вероятность будет больше, так как с увеличением ширины интервала пропорционально возрастает и возможность появления события величины х. Следовательно, вероятность может быть представлена как f(x) x. Переходя к пределу, когда х 0, мы можем пред­ставить вероятность dP появления события случайной величины в интервале от х до x+dx в виде:

(3.1)

отсюда

(3.2)

Из уравнения (3.2) видно, что функция f(x) имеет смысл вероятности, от­несенной к единичному интервалу. Из физических соображений функцию f(x) часто называют плотностью вероятности или статистическим весом.

Вероятность появления случайной величины в определенном объеме пространства, т.е. когда последняя может быть заключена в интервалах, например, декартовой системы координат, от х до x+dx, от у до y+dy, от z до z+dz соответственно, будет определяться выражением:

dP=f(x,y,z)dx dy dz (3.3)

Поскольку элементарный объем dv=dx dy dz, следовательно, уравнениe (3.3.) можно представить в виде:

v (3.4)

отсюда

(3.5)

Из выражения (5) следует, что функция f(x, у, z) имеет смысл вероятности отнесенной к единице объема, т.е. смысловая нагрузка плотности вероятности может несколько меняться в зависимости от поставленной задачи. Иногда функцию f(x) называют также дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения величин Х.

f(x)

а) б)

x

Рис. 3.1.

Термины "плотность распределения", "плотность вероятности" становят­ся особенно наглядными при пользовании механической интерпретацией распределения. В этой интерпретации функция f(x) буквально характеризует плотность распределения масс по оси абсцисс, так называемую "линейную плотность". Кривая, изображающая плотность распределения случайной ве­личины, называется кривой распределения (рис. 3.1, а). Величина f(x)dx на­зывается элементом вероятности. Геометрически это есть площадь элемен­тарного прямоугольника, опирающегося на отрезок dx (рис. 3.1, б). Вероят­ность попадания величины X на отрезок от А до В равна сумме элементов вероятности на всем этом участке (рис. 3.1, б), т.е. интегралу

(3.6)

введем обозначение:

(3.7)

Формула (3.7) выражает плотность распределения через функцию рас­пределения F(x) случайной величины X:

(3.8)

Функцию распределения F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Из уравнения (3.8) следует, что интегральная функция распределения F(x) определяет для каж­дого значения х вероятность того, что случайная величина X принимает зна­чение меньше х. Выразим функцию распределения через плотность вероятно­сти:

(3.9)

Геометрически F(x) есть ни что иное, как площадь кривой распределения, лежащая левее точки х (рис. 3.1 б). Функция распределения F(x) как всякая вероятность, есть величина безразмерная. Размерность плотности распреде­ления f(x), как это видно из выражений (3.2) и (3.5), обратна размерности слу­чайной величины. Необходимо отметить, что в основном задача статистики сводится к отысканию статистического распределения той или иной случай­ной величины. По мере изучения математической статистики все в большей мере должна выясняться задача нахождения распределения для достаточно широкого круга систем.

Условие нормировки. Пусть дискретная случайная величина может иметь ряд различных значений А₁, А₂, ...A_n, которые появляются с вероят­ностями Р₁, Р₂, ... Р_n. Тогда по аксиоме объединения вероятностей появление любого (безразлично какого) значения, из указанных выше, равна сумме всей вероятности, т.е. достоверности. Следовательно,

(3.10)

Выражение (3.10) носит название условия нормировки. Если дискрет­ная величина может принимать счетное множество значений с различными вероятностями при бесконечном числе испытаний, то условие нормировки принимает вид:

(3.11)

Для непрерывной величины условия нормировки изменяются. Вероят­ность появления случайной величины в малом интервале значений координа­ты х - определяется уравнением (3.1). Если случайная величина лежит в ин­тервале от: x₁ до х₂, то условие нормировки, как предел суммы всех вероятно­стей, когда dP 0, может быть представлено интегралом:

(3.12)

Когда случайная величина изменяется в бесконечных пределах, то усло­вие нормировки примет вид:

(3.12a)

Во всех рассмотренных случаях условие нормировки напоминает нам, что сумма всех вероятностей всегда равна единице.