§ 2.3. Формула байеса (теорема гипотез)

Следствием теоремы умножения вероятностей и формулы полной веро­ятности является формула Байеса или теорема гипотез.

Формула Байеса позволяет найти условную вероятность Р (Н/А) для каждой гипотезы в связи с появлением события А:

(2.22)

где i= 1,2,3, ...п.

Формула (2.22) носит название формулы Байеса (теорема гипотез). За­дача заключается в следующем: имеется полная группа несовместимых гипо­тез Н₁,Н₂,H₃,...,Н_п. Вероятности этих гипотез до опыта известны и соот­ветственно равны: P(H₁), Р(Н₂), Р(Н₃),...,Р(H_n).

Произведен опыт, в результате которого наблюдается появление некото­рого события А. Следует определить вероятности гипотез в связи с появлени­ем события А. По существу здесь идет речь об определении условной вероят­ности Р(Н_i) для каждой из гипотез. Используя теорему умножения вероят­ностей, можно записать:

где i= 1, 2,3, ...,n.

Отбросив левую часть в указанном выше уравнении, получим:

отсюда

Выражая Р(А) с помощью формулы (2.21) полной вероятности, придем к результату:

(2.22a)

Формула (2.22а) носит название формулы Байеса (теоремы гипотез).

§ 2.4. Формула бернулли.

В разнообразных практических вопросах приходится сталкиваться с во­просами повторения испытаний: испытания на надежность, проверка свойств каких-либо изделий, повторение наблюдения за некоторыми явлениями и т. д. Особый интерес представляет задача, суть которой заключается в следую­щем: производится два независимых испытаний, в каждом из которых собы­тие А может появиться с вероятностью р. Необходимо найти вероятность то­го, что событие А наступит п раз в т испытаниях.

Заметим сначала, что в каждом испытании нас интересуют два исхода -наступление и не наступление события А (т. е. «успех» и «неудача»). Вероят­ность наступления события А в определенном испытании равна р = 1 - q.

Вероятность того, что событие А наступит при определенных п испыта­ниях, а при остальных т-п (также определенных) не наступит, в силу теоре­мы умножения вероятностей равна

Но событие А может произойти при любых n из m возможных испыта­ний. Число всех различных выборов n элементов из m равно .

Поэтому в силу теоремы сложения вероятностей, искомая вероятность, которую мы станем обозначать символом равна:

(2.23)

Формула (2.23) носит название формулы Бернулли, названная в честь ее первооткрывателя, швейцарского математика Якова Бернулли (1654 - 1705). Из формулы (2.23) следует, что вероятность того, что событие А произойдет во всех n испытаниях, определяется уравнением:

а вероятность того, что событие А не произойдет ни разу определяется формулой:

Во многих случаях число испытаний бывает очень большим. Например, число рождений детей в городе, крае, стране за год. Формула Бернулли, не­смотря на всю ее простоту, в этом случае становится громоздкой для исполь­зования, и желательно найти ей замену, которая позволила бы упростить вы­числения. Пусть для примера т = 4000000, р = 0,5 и п = 2000000. Вычисление величины

представляет собой значительные трудности. В теории вероятностей предложены хорошие приближенные формулы. В том случае, когда р мало, действует приближенная формула Пуассона

(2.24)

где т = 0, 1,2...

Если же р и q не малы, то следует пользоваться формулой Муавра-

Лапласа

(2.25)