§ 2.2. Основные теоремы теории вероятностей.

В предыдущем параграфе мы познакомились с классической формулой для вероятности события, сводящейся к схеме случаев. Но даже когда собы­тие сводится к схеме случаев, зачастую эта схема бывает слишком сложна, и непосредственный подсчет по формуле (1) становится чрезвычайно громозд­ким. Что же касается события, не сводящихся к схеме случаев, то их вероят­ность лишь в редких случаях определяется непосредственно по частотам. По­этому, как правило, для определения вероятностей события применяются не непосредственные прямые методы, а косвенные, позволяющие по известным вероятностям одних событий определить вероятности других событий, с ни­ми связанных. Вся теория вероятностей, в основном, и представляет собой систему косвенных методов, которые позволяют свести необходимый экспе­римент к минимуму.

Применяя косвенные методы, мы в той или иной форме используем ос­новные теоремы теории вероятностей. Этих теорем две: теорема сложения вероятностей и теорема умножения вероятностей. Строго говоря, указанные два положения являются теоремами и могут быть доказаны только для собы­тий, сводящихся к схеме случаев, а для событий, не сводящихся к указанной схеме случаев оба положения принимаются аксиоматически, как принципы или постулаты.

Теорема сложения вероятностей.

Суммой событий А и В (обозначается А+В) называется событие, состоя­щее в появлении хотя бы одного из двух событий А и В. Аналогично опреде­ляется сумма большого числа событий. Например, появление четной грани игральной кости есть сумма трех событий: выпадание 2, или 4, или 6.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятности этих событий, т. е.

P(А + В) = Р (А) + Р (В). (2.3)

Доказательство. Пусть возможные исходы опыта сводятся к совокупно­сти п случаев. Предположим, что из этих случаев m благоприятны собы­тию А, а k - событию В. Тогда

(2.4)

(2.5)

п

к

Так как события несовместимы, следовательно, нет таких случаев, кото­рые благоприятны и событию А и событию В вместе, но событию С = А + В благоприятны т + k случаев, тогда

Р(С) = Р(А + В) = .

отсюда

(2.6)

На основании уравнений (2.4), (2.5). (2.6) можно записать:

(2.7)

что и требовалось доказать.

Обобщая теорему сложения вероятностей на произвольное число собы­тий (как показывает анализ), придем к результату:

(2.7 a)

Теорема: вероятность суммы двух совместимых событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность произведения этих событий, т. е.

(2.8)

Следствие 1. Если события образуют полную группу несовместимых событий, то сумма их вероятностей равна единице, т. е.

(2.9)

Доказательство. Поскольку события А₁,А₂,А₃,...,А_п образуют пол­ную группу, то появление хотя бы одного из них - событие достоверное, сле­довательно, Р( А₁,А₂, А₃,..., А_п )=1

Поскольку А₁,А₂,А₃,...,А_п являются несовместимыми, то к ним примени­ма теорема сложения вероятностей, поэтому можно записать:

отсюда

(2.9a)

Следствие 1 доказано.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна еди­нице, т. е.

Р(А) + Р( )=1. (2.10)

Рассматриваемое следствие есть частный случай следствия 1. Это следст­вие выделено особо ввиду значительной его важности в практическом приме­нении теории вероятностей. На практике часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события , чем вероятность события А. Из уравнения (10) следует, что

(2.11)