Занятие №2. Элементы теории вероятностей.

§ 2.1. Событие. Вероятность события.

Теория вероятностей есть математическая наука, которая изучает законо­мерности в случайных явлениях. Случайное явление - это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта проте­кает каждый раз несколько по-иному.

Известно, что каждая наука, развивающая общую теорию, соответствую­щую области изучаемого ею круга явлений, содержит ряд основных понятий, на которых она базируется. Такими понятиями в области геометрии являются понятия точка, линия; в области физики - понятия силы, массы, скорости, ускорения и т. д. Естественно, что не все основные понятия могут быть стро­го определены, т. к. определить понятие - это значит свести его к другим, более известным. Очевидно, процесс определения одних понятий через дру­гие должен где-то заканчиваться, дойдя до первичных понятий, к которым сводятся все остальные, и которые сами строго не определяются, а только поясняются.

Такие основные понятия существуют и в теории вероятностей, и к ним относятся такие понятия, как понятие события, вероятность события, час­тота события и так далее.

Под событием в теории вероятностей понимается всякий факт, который в результате проведения опыта может произойти или не произойти.

Случайные события можно разделить на единичные и массовые (или статистические). Отдельные исторические события, «катастрофы», «неожи­данности» и т. п., представляющие собой единичные события, поскольку они являются как бы неповторимыми. Единичные события в теории вероятностей и в математической статистике не рассматриваются. Массовые события или явления составляют предмет изучения теории вероятности и математической статистики. Представление о массовых событиях мы связываем с понятием испытания. Если осуществляются определенные условия, позволяющие су­дить о наступлении какого-нибудь события, то в этом случае говорят, что производятся испытания. События принято обозначать большими буквами латинского алфавита: А, В, С ...

Приведем несколько примеров событий:

А - появление герба при бросании монеты,

В - появление туза при вынимании карты из колоды,

С - приобретение выигрышного лотерейного билета,

D - появление любимого артиста (Ю.Г.) в праздничный день на эк­ране телевизора,

Е - возможность студента Б получить пятерку при сдаче экзамена по биофизике,

F - возможность студента Б остаться здоровым во время эпидемии гриппа.

Рассматривая вышеперечисленные события, мы видим, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности: одни - большей, другие -меньшей. Например, сразу видно, что событие А более возможно, чем собы­тие В и тем более событие С. Ясно, что каждое из таких событий обладает той или иной степенью возможности появления. Чтобы количественно срав­нить между собой события по степени их возможности появления, очевидно, необходимо с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число можно назвать вероятно­стью события. Более вероятными считаются те события, которые происходят чаще; менее вероятными - те события, которые происходят реже. Таким об­разом, понятие вероятности события в самой своей основе связано с опытным понятием частоты появления события.

Случай называется благоприятным некоторому событию, если появле­ние этого случая влечет за собой появление данного события.

Например, при бросании игральной кости возможны шесть случаев: по­явление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Из них событие А - появление, например, циф­ры 5, будем считать благоприятным случаем. Игральную кость бросают n раз (n - общее число случаев или число испытаний), при этом в m случаях появ­ляется событие А.

Отношение числа благоприятных случаев к общему числу случаев (числу полных испытаний) называют частотой события или статистической вероятностью.

Р*(А) = , (2.1)

где Р*(А) — статистическая (классическая) вероятность или частота события. Предел отношения числа благоприятных случаев к числу полных испытаний при стремлении п к бесконечности называют математической вероятностью, т. е

которая изменяется в том же интервале, что и статистическая вероят­ность. Так как следовательно, статистическая и математическая вероятности могут изменяться в промежутке: .

Вычисление вероятности сводится к подсчету элементов того или иного множества и оказывается чисто комбинаторной задачей, иногда весьма труд­ной. Классическое определение оправдано тогда, когда существует возмож­ность предсказания вероятности на основании симметрии условий, при кото­рых происходит испытание, и вследствие этого, симметрии исходов испыта­ния, что и приводит к представлению о «равновозможности». События назы­ваются равновозможными, если при испытании не существует никаких объ­ективных причин, вследствие которых одно из них могло бы наступить чаще, чем какое-либо другое. Например, если сделанная из однородного материала геометрически правильная игральная кость подбрасывается так, что она успе­вает сделать достаточно большое число оборотов перед тем, как упасть, то выпадание любой из ее граней мы считаем равновозможными исходами: Та­ким образом, классическое определение лишь сводит понятие «вероятности» к понятию «равновозможности». «Равновозможность» представляет собой объективное свойство испытаний, определяемое условиями их проведения, но, как всякое конкретное свойство, может быть установлено только с из­вестной степенью точности. Наше представление о «симметрии» игральной кости, монете, и т. п. было бы только иллюзией, если бы данные опыта не подтверждали правоту сделанных предположений. Данные проверки в сово­купности показывают, что предположение о равновозможности герба и реш­ки, т. е. о том, что с вероятностью 0,5 появляется любая сторона монеты при достаточно большом числе испытаний, находится в согласии с опытом. Од­нако если для исследования применять специальные вероятностные методы, то вполне возможен вывод, что выпадание герба и решки, в отдельных случа­ях, не одинаково вероятно. Это будет проявлением того факта, что любая ре­альная монета (или игральная кость) не является идеально симметричной. И, тем не менее, представление об абсолютно симметричной монете (или иг­ральной кости и т. п.) очень полезно, так как во многих приложениях теории вероятностей такая модель с равновозможными исходами достаточно точно описывает случайные явления.

Статистические закономерности такого рода были впервые обнаружены на примере азартных игр, таких, как например, игра в кости, игра в «орел -решку», карточные игры и т. п., то есть на примере тех испытаний, которые характеризуются разновозможностью исходов. Эти наблюдения открыли путь для статистического подхода к численному определению вероятности, который особенно важен тогда, когда из теоретических соображений, подоб­ным соображениям симметрии, значение вероятности заранее установить нельзя.

На практике часто приходится иметь дело с невозможными и достовер­ными событиями и с так называемыми « практически невозможными» и «практически достоверными» событиями и другими событиями. События, вероятность которых равна нулю, т. е. события, которые в процессе испыта­ний не могут произойти, называются невозможными. События, вероятность

которых не в точности равна нулю, но весьма близка к нулю, называется практически невозможными. События, вероятность которых равна едини­це, т. е. события, которые в процессе испытаний обязательно происходят, называются достоверными. События, вероятность которых не в точности равна единице, но весьма близка к единице, называются практически досто­верными. События называются несовместимыми, если появление одного из них при испытании исключает появление остальных событий при том же ис­пытании. В противном случае события называются совместимыми. События А, В, С... называются единственно возможными, если в результате каждого испытания хотя бы одно из них наступает. Говорят также, что рассматривае­мая совокупность событий образует полную группу событий. Два события считаются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от вероятности появления или непоявления другого. В противном случае собы­тия называются зависимыми. Противоположное событие - событие , составляющее с событием А полную группу событий. Можно сказать, что два

события А и называются противоположными, если появление одного из них исключает появление другого. Таким образом, как это следует из изло­женного выше, основные свойства вероятности заключаются в следующем:

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей:

.

2.Вероятность достоверного события, т. е. такого события, которое при испытании обязательно произойдет, равна единице:

Р(В) = 1

3.Вероятность невозможного события, т. е. события, которое в результате испытания не может произойти, равна нулю: Р(С) = 0.