1.5. Бином ньютона

Из алгебры известны формулы:

(а + b)⁰=1, (1.10)

(а + b)¹ =а + b, (1.11)

(a + b)² =a² +2ab + b², (1.12)

(а + b)³ =а³ +3a²b + 3ab² +b³ (1.13)

Обращает внимание то обстоятельство, что числовые коэффициенты в указанных выше уравнениях взяты из соответствующих строк треугольника Паскаля:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

…………………………………..

В каждой строке треугольника Паскаля вписаны коэффициенты двухчле-на в степени соответственно нулевой, первой, второй и т. д.

Запишем выражение:

(а + b)⁴ =(а + b)³(а + b) = а4 + 4а³b + 6а²b² + 4ab³ + b⁴,

из которого следует, что коэффициенты суммы получаются точно по тому же правилу, т. е. определяются цифрами одной из строк треугольника Паскаля.

Возникает гипотеза, что справедливо выражение:

(1.14)

или

(1.15)

Подставляя – b на место b, получим:

(1.16)

Формулы (1.15) и (1.16) известны как формулы бинома Ньютона, кото­рая была указана в 1665 году знаменитым английским математиком и физи­ком Исааком Ньютоном без строгого доказательства.

Для целых положительных показателей формула впервые была доказана Яковом Бернулли с помощью теории соединений.

Таким образом, гипотеза верна. Справедливость бинома (1.15) доказыва­ется методом математической индукции, опираясь на равенство:

Свойства разложения степени бинома.

1. Число всех его членов равно m+ 1, т.е. на единицу больше показателя степени бинома.

2. Показатели буквы а последовательно уменьшаются на единицу, а по­казатели буквы b увеличиваются на единицу. Сумма показателей букв а и b в каждом члене равна m, т.е. показателю бинома.

3. Коэффициенты членов, равноотстоящих от начала и конца разложе­ния, равны.

4. Для получения коэффициента каждого члена разложения бинома, начиная со второго, надо коэффициент предыдущего члена умножить на пока­затель степени при а в том же члене, и полученное число разделить на число членов, предшествующих определяемому.

5.Любой член разложения бинома, начиная со второго, определяется формулой:

6. Сумма всех коэффициентов разложения бинома равна двум в степени бинома (m).

Упражнения.

№ 1. Вычислить: а) ; б) ; в) .

№ 2. Проверить равенство:

№ 3. Решить уравнение:

№ 4. Найти разложение: a)

б)

№ 5. Студенту необходимо сдать 5 экзаменов в течение 12 дней. Сколькими способами можно составить расписание экзаменов?

Ответ: 95040.

№ 6. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 3 девушек и 3 юношей так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?

Ответ: 72.

№ 7. В партии содержится 30 измерительных приборов, из них 8 - повреж­денные. Сколькими способами из этой партии можно отобрать 6 приборов так, чтобы четыре из них были качественные и два поврежденные?

Ответ: 204820.

№ 8. При игре в волейбол в команде участвует 6 игроков. Сколько возмож­ных вариантов размещения игроков на площадке имеется у тренера?

Ответ: 720.