§ 1.3. Перестановки.

Если размещения из m элементов взяты по т т.е. различаются только по­рядком элементов, то такие размещения называются перестановками. Можно сказать, что каждая последовательность m элементов, составленная из этих элементов, называется перестановкой. Например, перестановки из двух эле­ментов а и b будут размещения из 2 по 2, т.е. ab и bа, перестановки из трех элементов будут размещения из 3 по 3, т.е. abc, acb, bac, bca, cab, cba и т.п.

Число всевозможных перестановок из m обозначается Р (здесь Р есть на­чальная буква французского слова «permulation» , что значит «перестанов­ка»).

Так как перестановки из m элементов - размещения из m no m, то число перестановок будет определяться формулой:

или

(1.2)

Число всевозможных перестановок из m элементов равно произведению натуральных чисел от 1 до m.

Произведение чисел обозначают m! (m с восклица­тельным знаком) и называют «m - факториал».

Например:

1!= 1,

Полагают

Часто используется рекуррентная формула:

(m+1)!=m!(m+1). (1.3)

Поскольку величина m! быстро увеличивается с ростом m, поэтому для больших значений m для определения указанной величины используется приближенная формула Стерлинга:

(1.4)

В некоторых формулах встречается m!! («полуфакториал»).

- для четного m =2k

- для нечетного m=2k+1.

Справедливы формулы, указанные ниже:

(1.5)

(1.6)

§1.4. Сочетания

Если из всех размещений, которые можно составить из m элементов по n, мы отберем только те, которые одно от другого разнятся, по крайней мере, одним элементом, то получим соединения, которые называются сочетаниями.

Например, из четырех элементов а, b, с и d сочетания по 3 будут:

abc, abd, acd, bed.

Если в каждом из этих сочетаний сделаем всевозможные перестановки, то получим всевозможные размещения из четырех элементов по 3:

abc	abd	acd	bed
acb	adb	adc	bde
Ьас	bad	cad	cbd
эса	bda	cda	cdb
cab	dab	dac	dbc
cba	dba	dca	deb

Число таких размещений равно, очевидно,

Таким образом, число всех размещений из m элементов по n, умножен­ному на число всех перестановок, какие можно сделать из n элементов, т.е.

(1.7)

где обозначает число всех сочетаний из m пo n (С есть начальная бу­ква французского слова «combinaison», что означает «сочетание»).

Отсюда получаем следующую формулу для числа сочетаний:

(1.8)

Например: и т.п.

Формулу числа сочетаний можно привести к другому виду, если умно­жим числитель и знаменатель ее на произведение 1 2 3 ...(m-n). Тогда в чис­лителе получим произведение m(m-1)...[m-(n-1)]ּ1ּ2ּ3ּ(m-n). Переставив сомножители, получим:

1 2 3 … (m-n)ּ[m-(n-1)]…m.

Следовательно:

Заменив в последней формуле n на m-n, получим:

Сравнивая последнюю формулу с предыдущей, находим:

(1.9)

Соотношение (1.9) позволяет упростить нахождение числа сочетаний из m элементов по n когда n превосходит m/2.

Например: