Задачи.

Задача №1. На опытах с бактериями установлено, что при достаточном запасе пищи скорость размножения бактерий пропорциональна их количест­ву. Составьте дифференциальное уравнение размножения бактерий и найдите его общее и частное решения, учитывая, что по истечению суток число бак­терий утроилось.

Задача №2. На опыте с бактериями установлено, что при введении пре­парата скорость гибели бактерий пропорциональна их количеству. Составить дифференциальное уравнение процесса гибели бактерий и найти его общее и частное решение, учитывая, что по истечению 36 часов число бактерий — уменьшилось в 5 раз.

Задача №3. Опыт показывает, что при облучении пораженного участка кожи гамма излучением скорость гибели раковых клеток пропорциональна их количеству. Определить, через сколько сеансов число раковых клеток уменьшится в 100 раз, если после трех процедур их число уменьшилось в 20 раз, при длительности процедуры 10 минут.

Задача №4.Скорость сокращения мышцы пропорциональна абсолютно­му сокращению , где - длина мышцы до сокращения, - длина мышцы для данного момента времени t в период сокращения. Найти закон сокращения мышцы, считая, что при t = 0,

Задача №5. В начальный момент времени в радиоактивном препарате было т₀ грамм висмута. Скорость распада висмута пропорциональна числу нераспавшихся атомов. За первые два часа после начала отсчета времени рас­палось 20 % от первоначального количества атомов. Через какое время рас­падется половина атомов висмута?

Задача №6. Скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Температура тела равна 90⁰ С, а температура воздуха равна 10⁰ С. Известно, что в течение 20 минут тело охлаждалось до 50 ⁰С. В течение какого промежутка времени тело охладится до температуры 40 ⁰С?

Математическая статистика. Занятие № 1. Элементы комбинаторики. Бином ньютона.

§ 1.1. Множества

Раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из за­данного множества и размещение этих элементов в каком-либо порядке, на­зывают комбинаторикой.

Совокупность, набор, собрание элементов, объединенных по какому-либо признаку, называют множеством. Например, множество точек из окружности, множество целых чисел, множество планет Солнечной системы, множество птиц и т. д. В повседневной жизни вместо слова «множество» употребляются слова «собрание», «коллекция», «набор», «стадо», «табун», «стая» и т. д. Различные группы, составленные из каких-либо предметов и отличающиеся одна от другой или порядком этих предметов, или самими предметами, называют соединениями. Если, например, из 10 различных цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) будем составлять группы по несколько цифр в каждой, например, такие 125, 521, 7846, 4520, 56, 7 и т.п., то будем получать различные соединения из этих цифр. Из них некоторые, например, 7846 и 125 различаются входящими в них предметами и числом предметов.

Предметы (или объект любой природы), из которых составляются соеди­нения, называются элементами. В качестве элементов могут выступать лю­ди, дома, книги, геометрические фигуры, планеты, лекарственные препараты и т.д. Для сокращения записи различных высказываний о множествах и их элементах принята следующая символика: множества обычно обозначают большими буквами латинского алфавита (А, В, С...), а их элементы - малыми (а, Ь, с...). Слово «принадлежит» заменяют символом , «не принадлежит» - . Если элемент х принадлежит множеству С, то пишут х С ; если х не принадлежит множеству С, то пишут х С. Множество, не имеющее элементов, называют пустым и обозначают символом . Примером пустых мно­жеств являются: множество тупых углов равностороннего треугольника, множество действительных корней уравнения х²+1=0, множество людей старше 300 лет. Иногда удобно явно указывать элементы множества: запись {1; 2; 3; 4; 5} означает множество, состоящее из элементов 1, 2, 3, 4, 5; запись {х/х²<1} читается «множество таких х , для которых х²<1».

Два множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, например:

{х/х²+Зх+2=0}={-2;-1}={-1;-2}.

Объединением двух множеств А и В называется множество, составлен­ное из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств. Объединение множеств А и В обозначают A В, где символ - знак объе­динения множеств.

Например, объединением множеств А= {1; 3; 4} и В= {0;2} является множество A B = {0; 1; 2; 3; 4} . Можно говорить и об объеди­нении трех и большего количества множеств, и, соответственно, о их пересечении.

а

б A B

в

г

д

Рис. 1.1 Диаграммы Эйлера-Венна

На рис. 1.1, а) множество A B, представляющее собой объ­единение множеств А и В, изо­бражено заштрихованной обла­стью.

Пересечение множеств А и В — это множество, составленное из элементов, принадлежащих од­новременно обоим множествам (рис. 1.1,б)

Пересечение множеств А и В обозначают через А В, где -знак пересечения множеств, на­пример:

{1;3;4} {0;2}= ,

{1;3;4} {0;1;2;3}={1;3}

Разностью двух множеств А и В называется такое множество, в которое входят все те элементы, которые принадлежат А и не при­надлежат В.

Разность между А и В обозначается символом А\В. Например, если А = {а; b; с; d; e} и В= {b; d; e; к; f; n}, то А\В = {а; с}. Таким образом, A\B =А\(А В).

Подмножество В данного множества А - это множество, составленное из некоторых элементов множества А, т.е. подмножество есть часть множе­ства. Пусть А - множество рек в Европе, а В = {Волга; Днепр; Сена; Ока}. Множество В является частью множества А, поскольку каждый элемент В является рекой, протекающей в Европе. Говорят, что В является подмножест­вом множества А и записывается с помощью символов так: В А. Говорят также «подмножество В включено в множество А». Это высказывание экви­валентно следующему: «В множество А включено подмножество В», т.е. А В.

Чтобы наглядно изобразить множества и отношения между ними, рисуют геометрические фигуры, которые находятся между собой в этих отношениях, например, если мы хотим наглядно изобразить, что множество А является собственным подмножеством множества В, то рисуем эти множества так, как это показано на рис. 1.1, в.

Если же надо показать, что подмножества А и В не имеют общих элемен­тов, то эти множества изображают так, как показано на рис. 1.1, г. Такие изо­бражения множеств называют диаграммами Эйлера-Венна. Диаграммы Эй­лера-Венна делают наглядными различные утверждения, касающиеся мно­жеств.

Например, рис. 1.1, д делает очевидными утверждения : если А В и В С, то А С.

Различают два вида подмножеств множества А : собственное и несобст­венное, само А и называют несобственными подмножествами, а все ос­тальные подмножества множества А, если они существуют, называются соб­ственными подмножествами. Число всех подмножеств множества, состоя­щего из n элементов, равно 2ⁿ. Некоторые числовые множества имеют специ­альные обозначения. Так, например, множество всех натуральных чисел обо­значают буквой N, множество целых неотрицательных чисел - буквой Z₀, множество всех целых чисел - буквой Z, множество всех рациональных чисел - буквой Q и множество всех действительных чисел - буквой R. Часто встре­чаются числовые множества, называемые промежутками:

- замкнутый промежуток или отрезок

[a,b]={x R/a х b},

- открытый промежуток или интервал

(a, b)= {x R/a<x<b}

для интервала иногда используют обозначение ]а; b[

- полуоткрытые промежутки

(a,b] = {x R/a<x b} ,

[a,b)={x R/a x<b}

(возможны обозначения ]а; b] и [а; Ь[)

- бесконечные промежутки (лучи, полупрямые)

(-∞, а) = {x R/x<a},

(-∞, а] = {x R/x а},

(а, +∞) = {x R/x>a},

[а, +∞) = {x R/x a},

(-∞, +∞) = R (прямая)