Рассмотрим эти случаи по порядку.
Первый случай.
Если k1
и k2
- разные по
величине действительные числа, то
функции
и
, будут частными линейно не зависимыми
решениями уравнения (14). В этом случае
общее решение будет иметь вид
(22)
Пример: решить
уравнение
Решение: полагая
,
получим:
;
;
или
Характеристическое уравнение можно написать сразу, заменив в данном уравнении и у величинами k1 и k2 и 1. Решив это уравнение, найдем k1=3, k2=1. Частным решением будут функции:
Следовательно,
общее решение имеет вид
Второй случай.
Из формулы
(21) видно, что характеристическое
уравнение (20) имеет равные корни
,
если
(23)
Непосредственно получаем только одно частное решение:
.
Докажем, что в этом случае вторым частным решением уравнения (14) является функция
т.е.
.
(24)
Найдем первую и вторую производные этой функции:
Подставив выражение (24) и ее производных в уравнение (14), получаем:
или
Приняв во внимание условие (23), имеем:
или
-
тождество.
Это значит, что функция (24) – решение уравнения (14)в случае, когда оно имеет равные корни.
Следовательно, при общим решением уравнения (14) является функция
Пример:
решить уравнение
Решение:
характеристическое
уравнение
имеет равные корни
Частными линейно независимыми решениями
этого уравнения являются функции:
Общее решение имеет вид:
Третий случай.
Уравнение
(20) имеет сопряженные комплексные корни
тогда, когда
Обозначив их кратко в виде
(25)
где
частные решения уравнения (14) можно
записать так:
(26)
Эти решения можно заменить двумя независимыми функциями:
(27)
,
(28)
не содержащими мнимых величин.
Уравнение (20) будет иметь комплексные корни (25), если
и уравнение (14) имеет вид
(29)
Докажем, что функции (27) и (28) являются решениями этого уравнения.
Найдем первую и вторую производные функции (27):
Подставив значения
в уравнение (29), получим:
Итак, функции (27) и (28) являются двумя линейно зависимыми частными решениями уравнения (14) в случае, когда уравнение (20) имеет сопряженные комплексные корни. Поэтому общее его решение имеет вид
(30)
где
и С2
– произвольные
постоянные.
Пример:
найти общее решение уравнения
Р2шение: находим корни характеристического уравнения
Следовательно, а=-1, b=2. Подставив эти значения a и b в формулу (30), получаем общее решение:
Упражнения.
Уравнения с разделяющимися переменными.
Найти общий интеграл уравнений:
1.
8.
2.
9.
3.
10.
4.
11.
5.
12.
6.
13.
7.
Однородные уравнения.
Найти общий интеграл уравнений:
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Линейные уравнения.
Найти общее решение уравнений:
1.
7.
2.
8.
3.
9.
4.
10.
5.
11.
6.
Найти частное решение уравнений, удовлетворяющих заданным начальным условиям:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Дифференциальные уравнения второго порядка вида
Найти общее решение уравнений:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Линейные, однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Найти общее решение уравнений.
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
