§ 6. 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно первой степени относительно искомой функции у и ее производных

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка, имеющие вид (14)

где р и q - постоянные величины, называются линейными однород­ными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим некоторые свойства этих уравнений.

Теорема 1. Если функция является решением уравнения (14), то функция (где С₁ - произвольная постоянная), также будет его реше­нием.

Доказательство. Подставив в уравнение (14) вместо функции у и ее производных соответственно С₁у₁, (С₁,у₁)' и (С₁,у₁)^//, получим , т.е.

. (15)

В силу равенства (15): ; 0=0- тождество.

Следовательно, функция С₁у₁ является решением уравнения (14).

Теорема 2. Если функции у₁ и у₂ - решения уравнения (14), то функция - так же его решение.

Доказательство. Так как у₁ и у₂ - решения уравнения (14), то

; (16)

Подставив в уравнение (14) вместо и у функцию у₃ и ее произ­водные будем иметь:

,

или

.

Принимая во внимание равенства (16), получим 0 + 0 = 0- тождество. Следовательно, функция у₃ = у₁ + у₂ - решение уравнения (14).

Пример. Проверить, что функции и - решения уравнения

у" +2у' -8у = 0 (17)

Подставляя в уравнение (17) последовательно у₁ и у₂ и их производные, получаем , или

- тождество

или

- тождество.

Следовательно, функции и решения уравнения (17).

Два решения y₁, и y₂ дифференциального уравнения (14) называются линейно независимыми, если одно из них не является произведением друго­го на постоянную величину. В противном случае решения у₁ и у₂ называ­ются линейно зависимыми.

Например, функции и являются линейно независимыми реше­ниями уравнения (17), так как при любом постоянном k

Теорема 3. Если и у₂- два линейно независимых частных решения уравнения (14), то функция

(18)

где С₁, и С₂ - произвольные постоянные, является его общим решением.

Доказательство. Так как, по условию у₁ и у₂- два частных решения уравнения (14), то, согласно теореме 1, и , где С₁, и С₂- произволь­ные постоянные, тоже будут его решениями, а потому (по теореме 2) их сум­ма [функция (18)] так же будет его решением. Функция (18) содержит два произвольных постоянных и не может быть преобразована в равносильную ей функцию, содержащую только одну произвольную постоянную, та как у₁ и у₂ - линейно независимые решения.

Следовательно, функция (18) - общее решение уравнения

Так, например, общим решением уравнения (17) будет функция

,

где С₁ и С₂ - произвольные постоянные.

Функции и , очевидно, при любых действи­тельных значениях С₁ и С₂ будут двумя линейно независимыми частными решениями этого уравнения.

Из этой теоремы следует, что для нахождения общего решения уравнения вида (14) достаточно найти два линейно независимых частных решения у₁ и у₂. Пример, рассмотренный выше, наводит на мысль, что такие частные решения можно искать в виде , где k - некоторое число. Тогда

;

Подставив в уравнение (19) вместо у и ее производных их выражения, получим:

;

или

,

отсюда

(20)

так как . Корни уравнения (20), очевидно, будут теми значениями k, при которых функция (18) будет удовлетворять уравнению (14), т.е. будет его решением. Это уравнение (20) принято называть характеристическим уравнением по отношению к уравнению (14).

Из алгебры известно, что корни уравнения (20) находятся по формуле:

(21)

При этом зависимости от числовых значений p и q возможны следующие случаи:

1. Корни k₁ и k₂ характеристического уравнения (20) – действительные и разные по величине

2. k₁ и k₂ - действительные числа равные между собой

3. k₁ и k₂ – сопряженные комплексные числа.