§6.2 Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными и разделяющимимся переменными.

Если дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

(5)

где f(y)- функция от у, -функция от х, то говорят, что в данном уравнении переменные разделены. Решение такого уравнения выполняется методом непосредственного интегрирования:

Пример 1: найти общий интеграл уравнения

Решение:

или

Пользуясь произвольностью С, можно 2С₀ обозначить через С и общий интеграл переписать в следующем виде:

Если дифференциальное уравнение после приведения его к общему знаменателю и соединения в один член всех членов, содержащих множителем один и тот же дифференциал, принимает вид:

(6)

то, такое уравнение называют уравнением с разделяющимися переменными. Его можно привести к виду (5), разделив все члены на произведение

Пример 2: проинтегрировать уравнение

Решение: объединяем в один член слагаемые, содержащие :

Заменяем на и приводим уравнение к общему знаменателю:

Разлагаем на множители коэффициенты при дифференциалах:

Разделив это уравнение почленно на , имеем

Получилось уравнение вида (5). Интегрируем его:

;

Пользуясь произвольностью С_0, заменяем 2С₀ через ln C:

откуда в результате потенцирования получаем

или

Пример 3: найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее условию при х=0.

Решение:

;

или

Делим члены этого уравнения на произведение :

Получили уравнение вида (5). Интегрируем это уравнение:

;

отсюда

;

или

; ;

Мы нашли общее решение. Определяем значение С, удовлетворяющее начальному условию при х=0:

, откуда С=а.

Следовательно, искомым частным решением будет функция

, или

§6.3 Однородные дифференциальные уравенния первого порядка.

Дифференциальное уравнение первого порядка, имеющее вид

(7)

называется однородным если Р(х,у) и Q(x,y) являются однородными функциями переменных х и у одного и того же измерения. Так, например, уравнение

является однородным, так как в нем и - однородные функции переменных х и у одного и того же (третьего) измерения.

Однородное дифференциальное уравнение (7) приводится к виду уравнение с разделяющимися переменными подстановкой

(8)

где u- новая неизвестная функция.

Пример 1: решить уравнение

Решение: в данном случае и - однородные функции одного и того же (второго) измерения. Полагаем , откуда

Подставляем эти выражения y и dy в данное уравнение:

;

(9)

Получилось уравнение вида (6). Разделяя переменные, находим

Интегрируя это уравнение:

; .

В результате потенцирования получается общий интеграл уравнения (9):

; ;

Определив u из уравнения (8) и заменив в последнем уравнении, находим общий интеграл данного уравнения:

, или .